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expressions qui peuvent encore se changer en celles-ci

${\overset {\smile }{\varepsilon }}e^{{\frac {n}{2}}qt}\cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}p\right)t+{\overset {\smile }{\omega }}\right]+{\overset {\frown }{\varepsilon }}e^{-{\frac {n}{2}}qt}\cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}p\right)t+{\overset {\frown }{\omega }}\right],$

en faisant

$\mathrm {H} -l=-{\overset {\smile }{\varepsilon }}\sin {\overset {\smile }{\omega }},\quad \mathrm {L} +h={\overset {\smile }{\varepsilon }}\cos {\overset {\smile }{\omega }},$

$\mathrm {H} +l=-{\overset {\frown }{\varepsilon }}\sin {\overset {\frown }{\omega }},\quad h-\mathrm {L} ={\overset {\frown }{\varepsilon }}\cos {\overset {\frown }{\omega }}.$

On mettra donc ces termes au lieu des termes

$\varepsilon '''_{1}\cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho '''\right)t+\omega '''_{1}\right]+\varepsilon _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)t+\omega _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right]$

de la valeur de $x_{1}$ de l’Article CIV, et l’on aura

${\begin{aligned}\mathrm {x} _{1}=&\varepsilon '_{1}\cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho '\right)t+\omega '_{1}\right]+\varepsilon ''_{1}\cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho ''\right)t+\omega ''_{1}\right]\\\\&+{\overset {\smile }{\varepsilon }}e^{{\frac {n}{2}}qt}\cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}p\right)t+{\overset {\smile }{\omega }}\right]+{\overset {\frown }{\varepsilon }}e^{-{\frac {n}{2}}qt}\cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}p\right)t+{\overset {\frown }{\omega }}\right],\end{aligned}}$

d’où l’on tire (Article XC)

${\begin{aligned}\mathrm {y} _{1}=&-2\varepsilon '_{1}\sin \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho '\right)t+\omega '_{1}\right]-2\varepsilon ''_{1}\sin \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho ''\right)t+\omega ''_{1}\right]\\\\&-2{\overset {\smile }{\varepsilon }}e^{{\frac {n}{2}}qt}\sin \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}p\right)t+{\overset {\smile }{\omega }}\right]-2{\overset {\frown }{\varepsilon }}e^{-{\frac {n}{2}}qt}\sin \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}p\right)t+{\overset {\frown }{\omega }}\right].\end{aligned}}$

Ainsi, dans ce cas, les valeurs de $\mathrm {x}$ et de $\mathrm {y}$ contiendront deux termes, l’un multiplié par $e^{{\frac {n}{2}}qt},$ et l’autre par $e^{-{\frac {n}{2}}qt},$ lesquels donneront dans le mouvement des satellites deux équations, dont l’une ira toujours en augmentant et l’autre ira en diminuant.

Si les valeurs de $\rho$ étaient toutes quatre imaginaires, on ferait sur les deux premiers termes de l’expression de $\mathrm {x}$ (Article CIII) les mêmes raisonnements et les mêmes réductions que nous venons de faire sur les deux autres.

On en dira autant des valeurs de $z,$ lesquelles sont entièrement analogues à celles de $\mathrm {x}$ (Article CIX) ; de sorte que, si l’équation en avait