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Donc les termes

$\varepsilon '''_{1}\cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho '''\right)t+\omega '''_{1}\right]+\varepsilon _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)t+\omega _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right]$

de la valeur de $\mathrm {x} _{1}$ (Article CIV) se changeront en

$\left(\varepsilon '''_{1}+\varepsilon _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)\cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho '''\right)t+\omega '''_{1}\right]$

$+\varepsilon _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}i\left({\frac {n}{2}}t-\Omega \right)\sin \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho '''\right)t+\omega '''_{1}\right].$

Or

${\begin{aligned}\varepsilon '''_{1}+\varepsilon _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&{\frac {(\beta _{1}+\gamma _{1})\delta '''_{1}+\Delta \gamma _{1}i}{\mu _{1}(1+\alpha _{1}+\beta _{1}+\gamma _{1})}}={\frac {b\delta '''_{1}+c\Delta }{\mu _{1}(1+\alpha _{1}+b)}},\\\varepsilon _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}i=&{\frac {\delta _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\gamma _{1}i}{\mu _{1}(1+\alpha _{1}+\beta _{1}+\gamma _{1})}}={\frac {c\delta '''_{1}}{\mu _{1}(1+\alpha _{1}+b)}}.\end{aligned}}$

Donc la valeur de $x_{1}$ deviendra

${\begin{aligned}\mathrm {x} _{1}=&\varepsilon '_{1}\cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho '\right)t+\omega '_{1}\right]+\varepsilon ''_{1}\cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho ''\right)t+\omega ''_{1}\right]\\&+{\frac {b\delta '''_{1}+c\Delta }{\mu _{1}(1+\alpha _{1}+b)}}\cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho '''\right)t+\omega '''_{1}\right]\\&+{\frac {c\delta '''_{1}}{\mu _{1}(1+\alpha _{1}+b)}}\left({\frac {n}{2}}t-\Omega \right)\sin \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho '''\right)t+\omega '''_{1}\right].\end{aligned}}$

Par conséquent celle de $\mathrm {y} _{1}$ sera (Article CVII), en négligeant les termes de l’ordre de $n,$

${\begin{aligned}\mathrm {y} _{1}=&-2\varepsilon '_{1}\sin \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho '\right)t+\omega '_{1}\right]-2\varepsilon ''_{1}\sin \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho ''\right)t+\omega ''_{1}\right]\\&-2{\frac {b\delta '''_{1}+c\Delta }{\mu _{1}(1+\alpha _{1}+b)}}\sin \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho '''\right)t+\omega '''_{1}\right]\\&-2{\frac {c\delta '''_{1}}{\mu _{1}(1+\alpha _{1}+b)}}\left({\frac {n}{2}}t-\Omega \right)\cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho '''\right)t+\omega '''_{1}\right].\end{aligned}}$

De là on voit que les valeurs de $\mathrm {x} _{1}$ et de $\mathrm {y} _{1}$ contiendront dans ce cas un terme multiplié par l’angle $t,$ lequel donnera par conséquent une équation dont la valeur ira toujours en augmentant.

On résoudra de la même manière le cas de trois racines égales, et l’on