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équation qui, en remettant au lieu de $\mathrm {K_{1},K_{2}} ,\ldots$ leurs valeurs, et ordonnant les termes par rapport à $\rho ,$ montera au quatrième degré, et donnera par conséquent quatre valeurs de $\rho ,$ que nous dénoterons par $\rho ',\rho '',\rho ''',\rho ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}.$

C.

Les calculs que nous venons de flaire dans ce paragraphe n’appartiennent proprement qu’au premier satellite ; mais il est aisé de les appliquer à chacun des trois autres, suivant les remarques faites ailleurs. En effet, pour les appliquer, par exemple, au second satellite, il n’y aura qu’à marquer de deux traits toutes les lettres qui ne sont marquées que d’un seul, et réciproquement ôter un trait à celles qui en ont deux, et ainsi de suite^[1] ; ainsi, dans l’équation $(\mathrm {Z} ),$ il ne faudra qu’échanger entre elles les lettres $\mathrm {K_{1},K_{2}} ,$ et les nombres $1,2.$ Or on verra aisément que cette permutation ne produira aucun changement dans l’équation ; d’où il s’ensuit que les valeurs de $\rho$ seront les mêmes pour le second satellite que pour le premier. On en dira autant par rapport au troisième et au quatrième, de sorte que l’équation $(\mathrm {Z} )$ servira pour tous les quatre satellites, et c’est ce qui fait que cette équation monte au quatrième degré.

CI.

Reprenons maintenant l’équation $(\mathrm {P} )$ de l’Article XCV, et substituons-y, au lieu de $\alpha _{1},\beta _{1},\gamma _{1},$ leurs valeurs $\mathrm {A} _{1}{\sqrt {-1}},\ \mathrm {B} _{1}{\sqrt {-1}},\ \mathrm {C} _{1}{\sqrt {-1}}$ (Article XCVII), et au lieu de $\mathrm {V} _{1}$ sa valeur $\mu _{1}(1-{\frac {1}{2}}nv_{1}){\sqrt {-1}}$ (Article XCVII), c’est-à-dire, $\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho \right){\sqrt {-1}},$ à cause de $\mu _{1}v_{1}=\rho$ (Article XCVIII), on aura, en négligeant partout les termes affectés de $n,$ excepté dans $e^{\mathrm {V} _{1}t},$

${\Biggl [}{\frac {d\mathrm {x} _{1}}{dt}}+\mathrm {A} _{1}\left({\frac {d\mathrm {P} }{dt}}+{\frac {dp}{dt}}{\sqrt {-1}}\right)+\mathrm {B} _{1}\left({\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}+{\frac {dq}{dt}}{\sqrt {-1}}\right){\Biggr .}$

$+\mathrm {C} _{1}\left({\frac {d\mathrm {R} }{dt}}+{\frac {dr}{dt}}{\sqrt {-1}}\right)-\mu _{1}\mathrm {x} _{1}{\sqrt {-1}}$

$+\mathrm {A} _{1}(2\mu _{2}-\mu _{1})\left(p-\mathrm {P} {\sqrt {-1}}\right)+\mathrm {B} _{1}(2\mu _{3}-\mu _{1})\left(q-\mathrm {Q} {\sqrt {-1}}\right)$

${\Biggl .}+\mathrm {C} _{1}(2\mu _{4}-\mu _{1})\left(r-\mathrm {R} {\sqrt {-1}}\right){\Biggr ]}e^{(\mu _{1}-{\frac {1}{2}}n\rho )t{\sqrt {-1}}}=\mathrm {const} .,$

1. Voir la Note de la page 76.