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XCIX.

Soit, pour abréger,

\mathrm {K} _{1}=2{\frac {{\cfrac {\rho }{\mu _{1}}}-{\text{ϐ}}_{1}}{\chi _{1}}},\quad \mathrm {K} _{2}=2{\frac {{\cfrac {\rho }{\mu _{2}}}-{\text{ϐ}}_{2}}{\chi _{2}}}

^[1],

et ainsi des autres ; les équations $(\mathrm {X} )$ donneront, après avoir mis au lieu de $f_{1},f_{2},\ldots$ leurs valeurs approchées $\mu _{1}^{2},\mu _{2}^{2},\ldots$ (Article XLV),

{\begin{aligned}\mathrm {A} _{1}=&\left[(1,2)\mathrm {K_{3}K_{4}} -(1,2)(3,4)(4,3)+(1,3)(3,2)\mathrm {K} _{4}\right.\\&\quad +\left.(1,3)(3,4)(4,2)+(1,4)(3,2)(4,3)+(1,4)(4,2)\mathrm {K} _{3}\right]{\frac {\mu _{1}^{2}}{\mu _{2}^{2}}},\\\mathrm {B} _{1}=&\left[(1,3)\mathrm {K_{2}K_{4}} +(1,4)(4,3)\mathrm {K} _{2}+(1,2)(2,3)\mathrm {K} _{4}\right.\\&\quad +\left.(1,4)(2,3)(4,2)+(1,2)(2,4)(4,3)-(1,3)(2,4)(4,2)\right]{\frac {\mu _{1}^{2}}{\mu _{3}^{2}}},\\\mathrm {C} _{1}=&\left[(1,4)\mathrm {K_{2}K_{3}} +(1,3)(3,4)\mathrm {K} _{2}-(1,4)(2,3)(3,2)\right.\\&\quad +\left.(1,2)(2,3)(3,4)+(1,3)(2,4)(3,2)+(1,2)(2,4)\mathrm {K} _{3}\right]{\frac {\mu _{1}^{2}}{\mu _{4}^{2}}}.\end{aligned}}

Chacune de ces quantités étant divisée par

{\begin{aligned}\mathrm {K_{2}K_{3}K_{4}} &-(3,4)(4,3)\mathrm {K} _{2}-(2,3)(3,2)\mathrm {K} _{4}\\&-(2,3)(3,4)(4,2)-(2,4)(3,2)(4,3)-(2,4)(4,2)\mathrm {K} _{3}.\end{aligned}}

Ces valeurs étant ensuite substituées dans l’équation $(\mathrm {Y} ),$ on aura, après les réductions,

{\begin{aligned}(\mathrm {Z} )\ \ \mathrm {K_{1}K_{2}K_{3}K_{4}} &-(3,4)(4,3)\mathrm {K_{1}K_{2}} -(2,4)(4,2)\mathrm {K_{1}K_{3}} -(2,3)(3,2)\mathrm {K_{1}K_{4}} \\&-(4,1)(1,4)\mathrm {K_{2}K_{3}} -(3,1)(1,3)\mathrm {K_{2}K_{4}} -(2,1)(1,2)\mathrm {K_{3}K_{4}} \\&-\left[(2,3)(3,4)(4,2)+(2,4)(3,2)(4,3)\right]\mathrm {K} _{1}\\&-\left[(3,1)(1,4)(4,3)+(4,1)(1,3)(3,4)\right]\mathrm {K} _{2}\\&-\left[(2,1)(1,4)(4,2)+(4,1)(1,2)(2,4)\right]\mathrm {K} _{3}\\&-\left[(2,1)(1,3)(3,2)+(3,1)(1,2)(2,3)\right]\mathrm {K} _{4}\\&+(2,1)(1,2)(3,4)(4,3)-(2,1)(1,3)(3,4)(4,2)\\&-(2,1)(1,4)(3,2)(4,3)-(3,1)(1,4)(2,3)(4,2)\\&-(3,1)(1,2)(2,4)(4,3)+(3,1)(1,3)(2,4)(4,2)\\&+(4,1)(1,4)(2,3)(3,2)-(4,1)(1,2)(2,3)(3,4)\\\end{aligned}}

-(4,1)(1,3)(2,4)(3,2)=0,

↑ Lagrange emploie, dans ce paragraphe et dans les suivants, diverses lettres telles que $\mathrm {K} ,\chi ,\ldots$ qui ont été précédemment affectées à un autre usage, mais il n’y a pas évidemment de confusion à redouter. $\qquad \qquad \qquad \qquad$ (Note de l’Éditeur)

[1] Lagrange emploie, dans ce paragraphe et dans les suivants, diverses lettres telles que $\mathrm {K} ,\chi ,\ldots$ qui ont été précédemment affectées à un autre usage, mais il n’y a pas évidemment de confusion à redouter. $\qquad \qquad \qquad \qquad$ (Note de l’Éditeur)

[1]