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À l’égard de l’équation ($\mathrm {K}$), on trouvera qu’elle se réduit de même à celle-ci

${\begin{aligned}(\mathrm {N} )\qquad {\frac {d^{2}z_{1}}{dt^{2}}}&+\mathrm {N} _{1}^{2}z_{1}\\&-nf_{1}\chi _{2}{\overset {\circ }{\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})z_{2}\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t\\&-nf_{1}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})z_{3}\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t\\&-nf_{1}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})z_{4}\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t=0.\end{aligned}}$

XC.

Comme notre dessein n’est pas d’avoir égard dans les valeurs de $x,y$ et $z$ aux termes de l’ordre $n,$ mais seulement à ceux qui ont des coefficients finis, nous pourrons négliger dans les équations $(\mathrm {L} )$ et $(\mathrm {N} )$ tous les termes qui se trouveront affectés de $n^{2},$ parce que ces termes seront encore de l’ordre $n$ après l’intégration.

Or les équations $(\mathrm {G} )$ et $(\mathrm {H} )$ donnent, en rejetant les termes affectés de $n,$

${\frac {d^{2}\mathrm {x} _{1}}{dt^{2}}}+\mathrm {M} _{1}^{2}\mathrm {x} _{1}=0,\quad {\frac {d\mathrm {y} _{1}}{dt}}+2\mu _{1}\mathrm {x} _{1}=0\,;$

d’où l’on tire.

${\frac {d\mathrm {y} _{1}}{dt}}-{\frac {2\mu _{1}}{\mathrm {M} _{1}^{2}}}{\frac {d^{2}\mathrm {x} _{1}}{dt^{2}}}=0,$

et, intégrant,

$\mathrm {y} _{1}-{\frac {2\mu _{1}}{\mathrm {M} _{1}^{2}}}{\frac {d\mathrm {x} _{1}}{dt}}=0\,;$

il ne faut point ici de constante, ce qui est évident par la nature de nos formules ; on trouvera de même

$\mathrm {y} _{2}-{\frac {2\mu _{2}}{\mathrm {M} _{2}^{2}}}{\frac {d\mathrm {x} _{2}}{dt}}=0,\quad \mathrm {y} _{3}-{\frac {2\mu _{3}}{\mathrm {M} _{3}^{2}}}{\frac {d\mathrm {x} _{3}}{dt}}=0,\quad \mathrm {y} _{4}-{\frac {2\mu _{4}}{\mathrm {M} _{4}^{2}}}{\frac {d\mathrm {x} _{4}}{dt}}=0\,;$