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vera facilement, par les formules de la Trigonométrie, sa latitude que j’appellerai $p$ et sa longitude que je nommerai $q'\,;$ car on aura, comme il est aisé de le démontrer,

(C)

$\left\{{\begin{aligned}\sin p\ =&\mathrm {\sin P\cos \pi -\cos P\sin Q'\sin \pi } ,\\\sin q'=&{\frac {\mathrm {\sin P\sin \pi +\cos P\sin Q'} \cos \pi }{\cos p}}\\\cos q'=&{\frac {\mathrm {\cos P\cos Q'} }{\cos p}},\\\end{aligned}}\right.$

Mais il est clair d’autre part que l’angle $p$ n’est autre chose que l’angle fait par le rayon $r$ avec le plan des $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y} \,;$ et que $q'+\varepsilon ,$ que je nomme $q,$ est l’angle que la projection de $r$ sur ce plan fait avec l’axe des $\mathrm {X} \,;$ on aura donc, comme il est facile de le concevoir même sans figure,

(D)

$\left\{{\begin{aligned}\mathrm {Z} =&r\sin p,\\\mathrm {Y} =&r\cos p\sin q=r\cos p\cos q'\sin \varepsilon +r\cos p\sin q'\cos \varepsilon ,\\\mathrm {X} =&r\cos p\cos q=r\cos p\cos q'\cos \varepsilon -r\cos p\sin q'\sin \varepsilon ,\end{aligned}}\right.$

et, substituant pour $\sin p,$ pour $\sin q'$ et $\cos q'$ leur valeurs ci-devant,

(E)

$\left\{{\begin{aligned}\mathrm {X} =&r\mathrm {\cos P\cos Q'} \cos \varepsilon -r\mathrm {\cos P\sin Q'} \sin \varepsilon \cos \pi -r\sin \mathrm {P} \sin \varepsilon \sin \pi ,\\\mathrm {Y} =&r\mathrm {\cos P\cos Q'} \sin \varepsilon +r\mathrm {\cos P\sin Q'} \cos \varepsilon \cos \pi +r\sin \mathrm {P} \cos \varepsilon \sin \pi ,\\\mathrm {Z} =&r\sin \mathrm {P} \cos \pi -r\mathrm {\cos P\sin Q'} \sin \pi ,\end{aligned}}\right.$

où l’on se resouviendra que $\mathrm {Q'=Q} +\omega .$

VII.

On différentiera d’abord ces valeurs de $\mathrm {X,Y,Z} ,$ en faisant varier seulement $\omega ,\varepsilon ,\pi$ (Article V), et en mettant la caractéristique $\delta$ au lieu de la $d,$ pour avoir celles de $\mathrm {\delta X,\delta Y,\delta Z} \,;$ on différentiera ensuite les mêmes valeurs $\mathrm {X,Y,Z}$ deux fois à l’ordinaire, pour avoir les différentio-différentielles $d^{2}\mathrm {X} ,d^{2}\mathrm {Y} ,d^{2}\mathrm {Z} \,;$ après quoi on fera les produits

$d^{2}\mathrm {X\delta X} ,d^{2}\mathrm {Y\delta Y} ,$