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on aura

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {M} _{1}^{2}=&\mu _{1}^{2}(1-n{\text{ϐ}}_{1}),\qquad \mathrm {M} _{1}=&\mu _{1}\left(1-{\frac {1}{2}}n{\text{ϐ}}_{1}\right),\\\mathrm {M} _{2}^{2}=&\mu _{2}^{2}(1-n{\text{ϐ}}_{2}),\qquad \mathrm {M} _{2}=&\mu _{2}\left(1-{\frac {1}{2}}n{\text{ϐ}}_{2}\right)\,;\end{alignedat}}$

et ainsi des autres.

Or le mouvement de la ligne des apsides étant au mouvement moyen comme $\mu -\mathrm {M}$ à $\mu$ (Article XXXVII), cette ligne avancera pendant une révolution de ${\frac {n{\text{ϐ}}}{2}}360^{\circ },$ d’où l’on connaîtra le mouvement des apsides de tous les satellites.

LXXX.

Pour évaluer en nombres les quantités ${\text{ϐ}},$ il faut commencer par chercher les valeurs des quantités ${\breve {\Pi }}(a_{1},a_{2}),\ldots ,$ lesquelles dépendent des quantités $\Lambda (a_{1},a_{2}),\ldots ,$ c’est-à-dire des coefficients de la série qui représente la quantité radicale $\left(1-2q\theta +q^{2}\right)^{-{\frac {5}{2}}}$ (Articles XX et suivants).

Soit donc, comme dans cet Article,

$\left(1-2q\theta +q^{2}\right)^{-{\frac {5}{2}}}=(\mathrm {A} )+(\mathrm {B} )\cos \theta +(\mathrm {C} )\cos 2\theta +\ldots ,$

on aura, en faisant $q={\frac {a_{1}}{a_{2}}}$ et $\theta =\varphi _{2}-\varphi _{1},$

$\left[a_{1}^{2}-2a_{1}a_{2}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+a_{2}^{2}\right]^{-{\frac {5}{2}}}=$

$a_{2}^{-5}\left[(\mathrm {A} )+(\mathrm {B} )\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+(\mathrm {C} )\cos 2(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots \right]\,;$

donc(Article XXI)

$\Lambda (a_{1},a_{2})=a_{2}^{-5}(\mathrm {A} ),\quad \Lambda _{1}(a_{1},a_{2})=a_{2}^{-5}(\mathrm {B} ),\ldots ,$

De même, en faisant $q={\frac {a_{1}}{a_{3}}},\ {\frac {a_{2}}{a_{3}}},\ldots ,$ on aura

$\Lambda (a_{1},a_{3})=a_{3}^{-5}(\mathrm {A} ),\quad \Lambda _{1}(a_{1},a_{3})=a_{3}^{-5}(\mathrm {B} ),\ldots ,$

et ainsi de suite ; où l’on remarquera que les quantités réciproques $\Lambda (a_{2},a_{1}),$ $\Lambda (a_{3},a_{1})\ldots$ sont les mêmes que les quantités $\Lambda (a_{1},a_{2}),$ $\Lambda (a_{1},a_{3}),\ldots$ (Article XLIII).