Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 6.djvu/156

quation du centre calculée dans une ellipse mobile (Article XXXVIII) ; si l’on voulait avoir le terme suivant, c’est-à-dire celui qui contient le carré de l’excentricité, il n’y aurait qu’à mettre au lieu de $x_{1}$ dans les termes $-n(6\mu _{1}-3f_{1})x_{1}^{2}$ et $-3n\mu _{1}x_{1}^{2}$ des équations $\mathrm {(G),(H)} ,$ la valeur de $x_{1}$ qu’on vient de trouver.

On aurait donc, en négligeant toujours les termes constants,

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}x_{1}}{dt^{2}}}&+\mathrm {M} _{1}x_{1}-n\left(6\mu _{1}^{2}-3f_{1}\right){\frac {\varepsilon _{1}^{2}}{2}}\cos 2(\mathrm {M} _{1}t+\omega _{1})=0,\\{\frac {dy_{1}}{dt}}&+2\mu _{1}x_{1}-3n\mu _{1}{\frac {\varepsilon _{1}^{2}}{2}}\cos 2(\mathrm {M} _{1}t+\omega _{1})=0.\end{aligned}}$

La première de ces équations donne (Article XXXIV)

$x_{1}=\varepsilon _{1}\cos(\mathrm {M} _{1}t+\omega _{1})-n\left(6\mu _{1}^{2}-3f_{1}\right){\frac {\varepsilon _{1}^{2}}{2}}{\frac {\cos 2(\mathrm {M} _{1}t+\omega _{1})}{3\mathrm {M} _{1}^{2}}},$

c’est-à-dire, en mettant au lieu de $f_{1}$ et de $\mathrm {M} _{1}^{2}$ leurs valeurs approchées $\mu _{1}^{2}$ (Article XLV),

$x_{1}=\varepsilon _{1}\cos(\mathrm {M} _{1}t+\omega _{1})-n{\frac {\varepsilon _{1}^{2}}{2}}\cos 2(\mathrm {M} _{1}t+\omega _{1}).$

Donc, substituant cette valeur de $x_{1}$ dans la seconde, et l’intégrant ensuite, on aura

$y_{1}=-{\frac {2\mu _{1}}{\mathrm {M} _{1}}}\varepsilon _{1}\sin(\mathrm {M} _{1}t+\omega _{1})+n{\frac {5\mu _{1}}{4\mathrm {M} _{1}}}\varepsilon _{1}^{2}\sin 2(\mathrm {M} _{1}t+\omega _{1}).$

Ce qui s’accorde avec ce que l’on sait d’ailleurs ; mais nous verrons plus bas qu’il y a dans l’équation $(\mathrm {G} )$ d’autres termes qui influent considérablement sur l’équation du centre, et qui empêchent qu’on ne puisse regarder l’expression précédente comme assez exacte, même dans le cas où l’on néglige les quantités de l’ordre $n$.

Il en faut dire autant de l’expression de la latitude que nous avons déjà trouvée (Article XL) ; mais avant que d’entrer dans cette discussion, il est bon de voir ce que donnent les nouvelles valeurs de $\mathrm {M}$ et de $\mathrm {N}$ (Article précédent) pour le mouvement des apsides et des nœuds.