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Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 6.djvu/152
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celles-ci, dans lesquelles nous avons négligé les termes affectés de
n
2
,
{\displaystyle n^{2},}
(
G
)
d
2
x
1
d
t
2
+
M
1
2
x
1
+
f
1
L
1
−
n
(
6
μ
1
2
−
3
f
1
)
x
1
2
−
1
2
n
f
1
z
1
2
−
n
f
1
2
Y
1
2
−
n
χ
2
f
1
x
1
[
Π
˘
1
(
a
1
,
a
2
)
+
2
μ
1
μ
2
−
μ
1
Γ
^
1
(
a
1
,
a
2
)
]
cos
(
μ
2
−
μ
1
)
t
−
n
χ
2
f
1
x
1
[
Π
˘
2
(
a
1
,
a
2
)
+
2
μ
1
2
(
μ
2
−
μ
1
)
Γ
^
2
(
a
1
,
a
2
)
]
cos
2
(
μ
2
−
μ
1
)
t
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
−
n
χ
3
f
1
x
1
[
Π
˘
1
(
a
1
,
a
3
)
+
2
μ
1
μ
3
−
μ
1
Γ
^
1
(
a
1
,
a
3
)
]
cos
(
μ
3
−
μ
1
)
t
−
n
χ
3
f
1
x
1
[
Π
˘
2
(
a
1
,
a
3
)
+
2
μ
1
2
(
μ
3
−
μ
1
)
Γ
^
2
(
a
1
,
a
3
)
]
cos
2
(
μ
3
−
μ
1
)
t
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
−
n
χ
4
f
1
x
1
[
Π
˘
1
(
a
1
,
a
4
)
+
2
μ
1
μ
4
−
μ
1
Γ
^
1
(
a
1
,
a
4
)
]
cos
(
μ
4
−
μ
1
)
t
−
n
χ
4
f
1
x
1
[
Π
˘
2
(
a
1
,
a
4
)
+
2
μ
1
2
(
μ
4
−
μ
1
)
Γ
^
2
(
a
1
,
a
4
)
]
cos
2
(
μ
4
−
μ
1
)
t
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
−
n
K
1
f
1
x
1
[
3
2
−
3
μ
1
2
(
m
−
μ
1
)
cos
2
(
m
−
μ
1
)
t
]
−
n
χ
2
f
1
x
2
×
[
Ψ
˘
(
a
1
,
a
2
)
+
Ψ
˘
1
(
a
1
,
a
2
)
cos
(
μ
2
−
μ
1
)
t
+
Ψ
˘
2
(
a
1
,
a
2
)
cos
2
(
μ
2
−
μ
1
)
t
+
…
]
−
n
χ
3
f
1
x
3
×
[
Ψ
˘
(
a
1
,
a
3
)
+
Ψ
˘
1
(
a
1
,
a
3
)
cos
(
μ
3
−
μ
1
)
t
+
Ψ
˘
2
(
a
1
,
a
3
)
cos
2
(
μ
3
−
μ
1
)
t
+
…
]
−
n
χ
4
f
1
x
4
×
[
Ψ
˘
(
a
1
,
a
4
)
+
Ψ
˘
1
(
a
1
,
a
4
)
cos
(
μ
4
−
μ
1
)
t
+
Ψ
˘
2
(
a
1
,
a
4
)
cos
2
(
μ
4
−
μ
1
)
t
+
…
]
+
n
K
1
f
1
ξ
[
3
2
+
9
2
cos
2
(
m
−
μ
1
)
t
]
+
n
χ
2
f
1
(
y
2
−
y
1
)
×
[
Γ
˘
1
(
a
1
,
a
2
)
sin
(
μ
2
−
μ
1
)
t
+
2
Γ
˘
2
(
a
1
,
a
2
)
sin
2
(
μ
2
−
μ
1
)
t
−
…
]
+
n
χ
3
f
1
(
y
3
−
y
1
)
×
[
Γ
˘
1
(
a
1
,
a
3
)
sin
(
μ
3
−
μ
1
)
t
+
2
Γ
˘
2
(
a
1
,
a
3
)
sin
2
(
μ
3
−
μ
1
)
t
−
…
]
+
n
χ
4
f
1
(
y
4
−
y
1
)
×
[
Γ
˘
1
(
a
1
,
a
4
)
sin
(
μ
4
−
μ
1
)
t
+
2
Γ
˘
2
(
a
1
,
a
4
)
sin
2
(
μ
4
−
μ
1
)
t
−
…
]
{\displaystyle {\begin{aligned}(\mathrm {G} )&\ \ {\frac {d^{2}x_{1}}{dt^{2}}}+\mathrm {M} _{1}^{2}x_{1}+f_{1}\mathrm {L} _{1}-n\left(6\mu _{1}^{2}-3f_{1}\right)x_{1}^{2}-{\frac {1}{2}}nf_{1}z_{1}^{2}-nf_{1}^{2}\mathrm {Y} _{1}^{2}\\&-n\chi _{2}f_{1}x_{1}\left[{\breve {\Pi }}_{1}(a_{1},a_{2})+{\frac {2\mu _{1}}{\mu _{2}-\mu _{1}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})\right]\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t\\&-n\chi _{2}f_{1}x_{1}\left[{\breve {\Pi }}_{2}(a_{1},a_{2})+{\frac {2\mu _{1}}{2(\mu _{2}-\mu _{1})}}{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})\right]\cos 2(\mu _{2}-\mu _{1})t\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&-n\chi _{3}f_{1}x_{1}\left[{\breve {\Pi }}_{1}(a_{1},a_{3})+{\frac {2\mu _{1}}{\mu _{3}-\mu _{1}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})\right]\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t\\&-n\chi _{3}f_{1}x_{1}\left[{\breve {\Pi }}_{2}(a_{1},a_{3})+{\frac {2\mu _{1}}{2(\mu _{3}-\mu _{1})}}{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{3})\right]\cos 2(\mu _{3}-\mu _{1})t\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&-n\chi _{4}f_{1}x_{1}\left[{\breve {\Pi }}_{1}(a_{1},a_{4})+{\frac {2\mu _{1}}{\mu _{4}-\mu _{1}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})\right]\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t\\&-n\chi _{4}f_{1}x_{1}\left[{\breve {\Pi }}_{2}(a_{1},a_{4})+{\frac {2\mu _{1}}{2(\mu _{4}-\mu _{1})}}{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{4})\right]\cos 2(\mu _{4}-\mu _{1})t\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\\&-n\mathrm {K} _{1}f_{1}x_{1}\left[{\frac {3}{2}}-{\frac {3\mu _{1}}{2(m-\mu _{1})}}\cos 2(m-\mu _{1})t\right]\\&-n\chi _{2}f_{1}x_{2}\\&\quad \times \left[{\breve {\Psi }}(a_{1},a_{2})+{\breve {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t+{\breve {\Psi }}_{2}(a_{1},a_{2})\cos 2(\mu _{2}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&-n\chi _{3}f_{1}x_{3}\\&\quad \times \left[{\breve {\Psi }}(a_{1},a_{3})+{\breve {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{3})\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t+{\breve {\Psi }}_{2}(a_{1},a_{3})\cos 2(\mu _{3}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&-n\chi _{4}f_{1}x_{4}\\&\quad \times \left[{\breve {\Psi }}(a_{1},a_{4})+{\breve {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{4})\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t+{\breve {\Psi }}_{2}(a_{1},a_{4})\cos 2(\mu _{4}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&+n\mathrm {K} _{1}f_{1}\xi \left[{\frac {3}{2}}+{\frac {9}{2}}\cos 2(m-\mu _{1})t\right]\\&+n\chi _{2}f_{1}(y_{2}-y_{1})\\&\quad \times \left[{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})\sin(\mu _{2}-\mu _{1})t+2{\breve {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})\sin 2(\mu _{2}-\mu _{1})t-\ldots \right]\\&+n\chi _{3}f_{1}(y_{3}-y_{1})\\&\quad \times \left[{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})\sin(\mu _{3}-\mu _{1})t+2{\breve {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{3})\sin 2(\mu _{3}-\mu _{1})t-\ldots \right]\\&+n\chi _{4}f_{1}(y_{4}-y_{1})\\&\quad \times \left[{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})\sin(\mu _{4}-\mu _{1})t+2{\breve {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{4})\sin 2(\mu _{4}-\mu _{1})t-\ldots \right]\\\end{aligned}}}