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on aura

${\begin{aligned}x_{1}=&\varepsilon _{1}\cos(M_{1}t+\omega _{1})\\&-\chi _{2}\left[\Xi _{1}(a_{1},a_{2})\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t+\Xi _{2}(a_{1},a_{2})\cos 2(\mu _{2}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&-\chi _{3}\left[\Xi _{1}(a_{1},a_{3})\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t+\Xi _{2}(a_{1},a_{3})\cos 2(\mu _{3}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&-\chi _{4}\left[\Xi _{1}(a_{1},a_{4})\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t+\Xi _{2}(a_{1},a_{4})\cos 2(\mu _{4}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&-\mathrm {K} _{1}\beta _{1}\cos 2(m-\mu _{1})t.\end{aligned}}$

XXXVII.

Ayant trouvé la valeur $x_{1},$ on aura l’expression du rayon vecteur $r_{1}$ de l’orbite du premier satellite rapportée au plan de l’orbite de Jupiter, par la formule $r_{1}=a_{1}(1+nx_{1})$ [Article IV].

Or, en examinant cette expression de $r_{1},$ on reconnaîtra aisément que le terme $na_{1}\varepsilon _{1}\cos(\mathrm {M} _{1}t+\omega _{1})$ représente l’équation elliptique qui vient de l’excentricité de l’orbite, de sorte que $n\varepsilon _{1}$ exprimera la valeur de l’excentricité, et $\mathrm {M} _{1}t+\omega _{1}$ sera l’anomalie moyenne ; d’où l’on voit que le mouvement de cette anomalie sera au mouvement moyen du satellite comme $\mathrm {M} _{1}$ à $\mu _{1}\,;$ par conséquent le mouvement moyen de la ligne des apsides sera au mouvement moyen du satellite comme $\mu _{1}-\mathrm {M} _{1}$ à $\mu _{1}.$ Nous verrons plus bas (Article XLV), qu’en négligeant les quantités de l’ordre $n,$ on a $\mathrm {M} _{1}=\mu _{1},$ de sorte que la ligne des apsides sera fixe, au moins par cette première approximation.

À l’égard de $\omega _{1},$ on le déterminera par le moyen d’une époque quelconque donnée de l’anomalie moyenne ; ainsi les quantités $\varepsilon _{1}$ et $\omega _{1}$ dépendent entièrement des observations.

Les autres termes de la valeur de $r_{1}$ expriment les inégalités qui viennent de l’action des trois satellites ${\mathfrak {S}}_{2},{\mathfrak {S}}_{3},{\mathfrak {S}}_{4}$ et du Soleil sur le satellite ${\mathfrak {S}}_{1}.$

XXXVIII.

On substituera maintenant la valeur de $x_{1}$ dans la seconde équation de l’Article XXXV, et l’on tirera par l’intégration la valeur de $y_{1},$ mais