XXXIII.
Et le mouvement du satellite
sera déterminé par les équations suivantes (Article VIII)
1
o![{\displaystyle \quad {\frac {d^{2}x_{1}}{dt^{2}}}+\left(3\mu _{1}^{2}-2f_{1}\right)x_{1}+f_{1}\mathrm {X} _{1}-2\mu _{1}f_{1}\mathrm {Y} _{1}-n\left(6\mu _{1}^{2}-3f_{1}\right)x_{1}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/150755d570ae677753d585e7570e62eb1b3f508d)
![{\displaystyle -{\frac {3}{2}}nf_{1}z_{1}^{2}+6n\mu _{1}f_{1}^{2}\mathrm {Y} _{1}^{2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db10bddc4f451145ec55083c58f745b90d56788a)
2
o![{\displaystyle \quad {\frac {d^{2}y_{1}}{dt^{2}}}+2\mu _{1}x_{1}-f_{1}\mathrm {Y} _{1}-3n\mu _{1}x_{1}^{2}+2nf_{1}x_{1}\mathrm {Y} _{1}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bb7dbdf45fc36cb313cc28db3d2fe1e50394f67)
3
o![{\displaystyle \quad {\frac {d^{2}z_{1}}{dt^{2}}}+\mu _{1}^{2}z_{1}+f_{1}\mathrm {Z} _{1}-4n\mu _{1}^{2}z_{1}x_{1}+{\frac {dz_{1}dx_{1}}{dt^{2}}}+2n\mu _{1}f_{1}z_{1}\mathrm {Y} _{1}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3b83e86522d9f2fe1569d6fe770078cd0531b74)
On se souviendra que les quantités
et
ne doivent renfermer aucun terme constant, suivant la remarque de l’Article IV.
XXXIV.
Il ne s’agit donc plus que d’intégrer les équations que nous venons de donner ; pour cela, on commencera par rejeter tous les termes affectés de
et l’on cherchera par l’intégration les valeurs de
on substituera ensuite ces valeurs dans les termes qu’on avait négligés, et l’on en tirera de nouvelles valeurs de
plus approchées que les premières. On opérerait ainsi de suite, si nous avions eu égard aux termes affectés de
Par ce moyen, l’intégration de la première et de la troisième équation de l’Article précédent se réduira à celle d’une équation de cette forme
![{\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}+\mathrm {M} ^{2}u+\mathrm {T} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c98877b54373f95bdc578e046d902a7a84c7b086)
étant une fonction composée de sinus et de cosinus d’angles multiples de
or l’intégrale de cette équation est, comme l’on sait,
![{\displaystyle u=\mathrm {G} \sin \mathrm {M} t+\mathrm {H} \cos \mathrm {M} t+{\frac {\cos \mathrm {M} t\int \mathrm {T} \sin \mathrm {M} tdt-\sin \mathrm {M} t\int \mathrm {T} \cos \mathrm {M} tdt}{\mathrm {M} }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6034a3f9b229cd9a98fdeeb32d9e79469e1df291)