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donc

${\begin{aligned}-{\frac {\rho _{1}\cos(\psi -\varphi )}{\delta ^{3}}}+{\frac {\cos(\psi -\varphi )}{\rho _{1}^{2}}}=&-{\frac {3r}{2\rho _{1}^{3}}}\left[1+\cos 2(\psi -\varphi )\right],\\{\frac {\rho _{1}\sin(\psi -\varphi )}{\delta ^{3}}}-{\frac {\sin(\psi -\varphi )}{\rho _{1}^{2}}}=&{\frac {3r}{2\rho _{1}^{3}}}\sin 2(\psi -\varphi ),\end{aligned}}$

et

${\frac {r}{\delta ^{3}}}={\frac {r}{\rho _{1}^{3}}}.$

XXVII.

Soient à présent $\alpha$ la valeur moyenne de $\rho ,$ et $m$ la valeur moyenne de ${\frac {d\psi }{dt}},$ c’est-à-dire la vitesse angulaire moyenne de Jupiter autour du Soleil.

On supposera, à l’imitation de ce que nous avons fait (Article IV),

$\rho _{1}=\alpha (1+n\xi ),\quad \psi =mt+n\mathrm {J} .$

Dans ces formules, $n\xi$ représente l’équation de la distance de Jupiter au Soleil, et $n\mathrm {J}$ l’équation du centre de Jupiter ; lesquelles sont connues par la théorie de cette Planète. En effet, en n’ayant égard qu’aux équations elliptiques, et supposant que $ne$ soit l’excentricité et $\mathrm {U}$ l’anomalie moyenne, on a à très-peu près

$\xi =e\cos \mathrm {U} ,\quad \mathrm {J} =-2e\sin \mathrm {U} .$

On aura donc

${\frac {r}{\rho _{1}^{3}}}={\frac {a}{\alpha ^{3}}}(1+nx)(1-3n\xi )={\frac {a}{\alpha ^{3}}}(1+nx-3n\xi )\,;$

donc enfin

${\begin{aligned}\circledast &\left[r-{\frac {\rho _{1}\cos(\psi -\varphi _{1})}{\delta _{1}^{3}}}+{\frac {\cos(\psi -\varphi _{1})}{\rho _{1}^{2}}}\right]\\&=-{\frac {a_{1}\circledast }{2\alpha ^{3}}}\left[1+3\cos 2(\psi -\varphi _{1})\right]-n{\frac {a_{1}\circledast }{2\alpha ^{3}}}(x_{1}-3\xi )\left[1+3\cos 2(\psi -\varphi _{1})\right],\end{aligned}}$