donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}-{\frac {\rho _{1}\cos(\psi -\varphi )}{\delta ^{3}}}+{\frac {\cos(\psi -\varphi )}{\rho _{1}^{2}}}=&-{\frac {3r}{2\rho _{1}^{3}}}\left[1+\cos 2(\psi -\varphi )\right],\\{\frac {\rho _{1}\sin(\psi -\varphi )}{\delta ^{3}}}-{\frac {\sin(\psi -\varphi )}{\rho _{1}^{2}}}=&{\frac {3r}{2\rho _{1}^{3}}}\sin 2(\psi -\varphi ),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2738d65cd60dd0af1f34538b1f895634c0b1ce53)
et
![{\displaystyle {\frac {r}{\delta ^{3}}}={\frac {r}{\rho _{1}^{3}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b1fe921043d78e35a26ec8b0aacef068c4987e1)
XXVII.
Soient à présent
la valeur moyenne de
et
la valeur moyenne de
c’est-à-dire la vitesse angulaire moyenne de Jupiter autour du Soleil.
On supposera, à l’imitation de ce que nous avons fait (Article IV),
![{\displaystyle \rho _{1}=\alpha (1+n\xi ),\quad \psi =mt+n\mathrm {J} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c98a87c577904adc3bcdf4133995f3d77fdc4f3)
Dans ces formules,
représente l’équation de la distance de Jupiter au Soleil, et
l’équation du centre de Jupiter ; lesquelles sont connues par la théorie de cette Planète. En effet, en n’ayant égard qu’aux équations elliptiques, et supposant que
soit l’excentricité et
l’anomalie moyenne, on a à très-peu près
![{\displaystyle \xi =e\cos \mathrm {U} ,\quad \mathrm {J} =-2e\sin \mathrm {U} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dabac84f0981abe05e8518c1cb4143de0a409baa)
On aura donc
![{\displaystyle {\frac {r}{\rho _{1}^{3}}}={\frac {a}{\alpha ^{3}}}(1+nx)(1-3n\xi )={\frac {a}{\alpha ^{3}}}(1+nx-3n\xi )\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4234fb2a823d4c3fe944de543e1d7e20fb9e915)
donc enfin
![{\displaystyle {\begin{aligned}\circledast &\left[r-{\frac {\rho _{1}\cos(\psi -\varphi _{1})}{\delta _{1}^{3}}}+{\frac {\cos(\psi -\varphi _{1})}{\rho _{1}^{2}}}\right]\\&=-{\frac {a_{1}\circledast }{2\alpha ^{3}}}\left[1+3\cos 2(\psi -\varphi _{1})\right]-n{\frac {a_{1}\circledast }{2\alpha ^{3}}}(x_{1}-3\xi )\left[1+3\cos 2(\psi -\varphi _{1})\right],\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8caaab49b02a128d1c47afc24dc3105890cb941)