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$\omega$ étant l’inclinaison de l’équateur lunaire sur l’écliptique, et $\varphi$ la distance du premier méridien de la Lune au nœud ascendant de l’équateur, c’est-à-dire au point équinoxial d’automne par rapport à la Lune. Or on a, par le même numéro,

$\theta \ \ {\text{ou}}\ \ \varphi +\psi =180^{\circ }+t+r\,;$

donc

$\psi =180^{\circ }+t-\varphi +r\,;$

mais $\psi$ est la longitude du nœud ascendant de l’équateur lunaire ; donc $\psi -180^{\circ }$ sera celle de son nœud descendant, ou bien de l’équinoxe du printemps de la Lune. Donc la longitude de cet équinoxe, ou bien sa distance à l’équinoxe de la Terre, sera exprimée par

$t-\varphi +r,$

l’angle $r$ étant celui de la libration réelle de la Lune (75).

86. On voit par les expressions précédentes de $s$ et $u$ que, pour que ces quantités soient et demeurent toujours fort petites (ce qui est nécessaire pour l’exactitude de la solution, et qui est en même temps conforme aux observations suivant lesquelles l’inclinaison $\omega$ est toujours très-petite), il ne suffit pazs que les coefficients $\mathrm {M,N,P,P} ',\ldots$ soient eux-mêmes fort petits, mais qu’il faut de plus que les angles $\mu ,\nu ,\alpha ,\beta ,\ldots$ soient réels ; or les angles $\alpha ,\beta ,\ldots$ sont réels par leur nature, mais les angles $\mu$ et $\nu$ demandent, pour être réels, que les valeurs de ${\frac {d\mu }{dt}},{\frac {d\nu }{dt}},$ c’est-à-dire de ${\sqrt {\rho '}},{\sqrt {\rho ''}},$ soient réelles ; ainsi il faudra que les racines $\rho ',\rho ''$ de l’équation en $\rho$ (83) soient non-seulement réelles, mais encore positives ; ce qui donne ces trois conditions

${\begin{aligned}&\mathrm {(A-B-C)^{2}+(A-B)B+4(A-C)C} >0,\\&\mathrm {(A-B)(A-C)} >0,\\&\mathrm {\left[(A-B-C)^{2}+(A-B)B+4(A-C)C\right]>16BC(A-B)(A-C)} .\end{aligned}}$

Si l’une de ces conditions manque, les valeurs de $s$ et $u$ renfermeront