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rapport à l’angle $\alpha$ ces deux équations d’où l’on tire

${\begin{aligned}&-\mathrm {BP} \left({\frac {d\alpha }{dt}}\right)^{2}-(\mathrm {A-B-C} )\mathrm {P} '{\frac {d\alpha }{dt}}+4\mathrm {(A-C)} (4\mathrm {P} +a)=0,\\&-\mathrm {CP'} \left({\frac {d\alpha }{dt}}\right)^{2}-(\mathrm {A-B-C} )\mathrm {P} {\frac {d\alpha }{dt}}+\mathrm {(A-B)} (\mathrm {P} '+a')=0,\end{aligned}}$

d’où l’on tire

${\begin{aligned}\mathrm {P} =&{\frac {\left[\mathrm {A-B-C} \left({\cfrac {d\alpha }{dt}}\right)^{2}\right]\mathrm {(A-C)} a+(\mathrm {A-B-C} ){\cfrac {d\alpha }{dt}}+\mathrm {(A-B)} a'}{\mathrm {(A-B-C)^{2}} \left({\cfrac {d\alpha }{dt}}\right)^{2}-\left[\mathrm {4(A-C)-B} \left({\cfrac {d\alpha }{dt}}\right)^{2}\right]\left[\mathrm {A-B-C} \left({\cfrac {d\alpha }{dt}}\right)^{2}\right]}},\\\\\mathrm {P} '=&{\frac {\mathrm {(A-B-C)} {\cfrac {d\alpha }{dt}}\mathrm {(A-C)} a+\left[\mathrm {4(A-C)-B} \left({\cfrac {d\alpha }{dt}}\right)^{2}\right]\mathrm {(A-B)} a'}{\mathrm {(A-B-C)^{2}} \left({\cfrac {d\alpha }{dt}}\right)^{2}-\left[\mathrm {4(A-C)-B} \left({\cfrac {d\alpha }{dt}}\right)^{2}\right]\left[\mathrm {A-B-C} \left({\cfrac {d\alpha }{dt}}\right)^{2}\right]}}.\end{aligned}}$

On aura de semblables équations par rapport à l’angle $\beta ,$ lesquelles donneront pour $\mathrm {Q}$ et $\mathrm {Q} '$ des valeurs pareilles à celles de $\mathrm {P}$ et $\mathrm {P} ',$ en y changeant seulement ${\frac {d\alpha }{dt}}$ en ${\frac {d\beta }{dt}},$ et $a,a',$ en $b,b'\,;$ et ainsi de suite.

85. Joignant donc ces différents termes à ceux qu’on a trouvés dans le numéro précédent, on aura les valeurs suivantes de $s$ et $u,$ savoir

${\begin{aligned}s=&\mathrm {M\,\ \sin \mu +N\,\ \sin \nu +P\,\ \sin \alpha +Q\,\ } \sin \beta +\ldots ,\\u=&\mathrm {M'\cos \mu +N'\cos \nu +P'\cos \alpha +Q'} \cos \beta +\ldots ,\end{aligned}}$

lesquelles résolvent les équations proposées dans toute leur étendue, et renferment par conséquent les véritables lois du mouvement des points équinoxiaux de la Lune et de l’inclinaison de son équateur.

En effet, puisque (38)

$s=\operatorname {tang} {\frac {\omega }{2}}\sin \varphi ,\quad u=\operatorname {tang} {\frac {\omega }{2}}\cos \varphi ,$

on aura

$\operatorname {tang} {\frac {\omega }{2}}={\sqrt {s^{2}+u^{2}}},\quad \operatorname {tang} \varphi ={\frac {s}{u}},$