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proposée les valeurs de $x$ et $y$ du n^o 59, on aura pour $y-4xy$ une suite de termes de cette forme

$a\sin \alpha +b\sin \beta +\ldots ,$

dans lesquels $a,b,\ldots$ sont des coefficients numériques, et $\alpha ,\beta ,\ldots$ des angles qui croissent uniformément, en sorte que ${\frac {d\alpha }{dt}},{\frac {d\beta }{dt}},\ldots$ sont des nombres donnés. Or soient

$\mathrm {P} \sin \alpha +\mathrm {Q} \sin \beta +\ldots$

les termes correspondants dans la valeur de $r,$ on aura par la substitution et la comparaison des termes analogues ces équations

${\begin{aligned}&-\mathrm {AP} \left({\frac {d\alpha }{dt}}\right)^{2}+3(\mathrm {B-C} )(\mathrm {P} -a)=0,\\&-\mathrm {AQ} \left({\frac {d\beta }{dt}}\right)^{2}+3(\mathrm {B-C} )(\mathrm {Q} -b)=0,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,\end{aligned}}$

d’où l’on tire

$\mathrm {P} =-{\frac {3(\mathrm {B-C} )a}{\mathrm {A} \left({\cfrac {d\alpha }{dt}}\right)^{2}-3(\mathrm {B-C} )}},\quad \mathrm {Q} =-{\frac {3(\mathrm {B-C} )b}{\mathrm {A} \left({\cfrac {d\beta }{dt}}\right)^{2}-3(\mathrm {B-C} )}},\ldots .$

Ainsi la valeur complète de $r$ sera, par la Théorie connue des équations linéaires,

$r=\mathrm {L\sin \lambda +P\sin \alpha +Q} \sin \beta +\ldots \,;$

les deux constantes arbitraires étant l’une $\mathrm {L} ,$ et l’autre renfermée dans l’angle $\lambda .$

76. Telle est l’expression générale de la libration réelle et physique de la Lune ; si cette libration pouvait être sensible, elle devrait altérer également toutes les longitudes sélénographiques des taches de la Lune, déterminées par la méthode de Mayer, dont nous avons parlé plus, haut (39) ; mais en examinant la Table que cet Astronome donne à la fin de son Traité sur la rotation de la Lune, et qui renferme les longitudes et les latitudes sélénographiques des taches ou points lumineux nommés Ma-