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est purement optique, et n’a par elle-même aucune difficulté, n’étant produite que par le mouvement non uniforme de la Lune autour de la Terre, et par l’inclinaison de l’orbite de la Lune à l’égard de son équateur ; cette libration aurait également lieu quand la Lune serait absolument sphérique, et quand son mouvement de rotation serait uniforme ; mais la libration physique dépend de l’action de la Terre sur la Lune supposée non sphérique ; elle est représentée par l’angle très-petit $r,$ lequel exprime de combien le premier méridien de la Lune est plus ou moins avancé dans sa révolution, qu’il ne devrait l’être s’il répondait toujours au lieu moyen de la Terre vue de la Lune (39).

Pour déterminer cet angle il faut donc intégrer l’équation

$\mathrm {A} {\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}+3(\mathrm {B-C} )(r-y+4xy)=0\,;$

laquelle, en faisant d’abord abstraction des termes sans $r,$ donnera

$r=\mathrm {L} \sin \lambda ,$

$\mathrm {L}$ étant une constante indéterminée et $\lambda$ un angle qui augmente uniformément, en sorte que ${\frac {d\lambda }{dt}}$ soit une quantité constante.

En effet, substituant pour $r$ cette expression dans l’équation

$\mathrm {A} {\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}+3(\mathrm {B-C} )r=0,$

on aura (après avoir divisé par $\mathrm {L} \sin \lambda$) celle-ci

$-\mathrm {A} \left({\frac {d\lambda }{dt}}\right)^{2}+3(\mathrm {B-C} )=0\,;$

d’où l’on tire

${\frac {d\lambda }{dt}}={\sqrt {\mathrm {\frac {3(B-C)}{A}} }},$

et la constante $\mathrm {L}$ demeurera arbitraire.

Qu’on substitue maintenant dans les termes tout connus de l’équation