Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 5.djvu/78

70. En général quelles que soient la figure de la Lune et la loi de sa densité, comme on a, par les formules du n^o 61,

$\mathrm {A} =\mathbf {S} \mathrm {R'} ^{2}\cos ^{2}\mathrm {P} dm,\quad \mathrm {B} =\mathbf {S} \mathrm {R} ^{2}\mathrm {\left(\sin ^{2}P+\cos ^{2}P\cos ^{2}Q\right)} dm,$

$\mathrm {C} =\mathbf {S} \mathrm {R} ^{2}\mathrm {\left(\sin ^{2}P+\cos ^{2}P\sin ^{2}Q\right)} dm,$

$\mathrm {F} ={\frac {1}{2}}\mathbf {S} \mathrm {R} ^{2}\mathrm {\sin 2P\sin Q} dm,\quad \mathrm {G} ={\frac {1}{2}}\mathbf {S} \mathrm {R} ^{2}\mathrm {\sin 2P\cos Q} dm,$

$\mathrm {H} ={\frac {1}{2}}\mathbf {S} \mathrm {R} ^{2}\mathrm {\cos ^{2}P\sin 2Q} dm,$

il est visible que si $l$ est la plus grande valeur de $\mathrm {R} ,$ c’est-à-dire le plus grand rayon de la Lune, on aura nécessairement pour les valeurs de $\mathrm {A,B,C}$ ces limites $0$ et $ml^{2},$ et pour les valeurs de $\mathrm {F,G,H}$ celles-ci $\pm {\frac {ml^{2}}{2}}.$ Or le demi-axe $h$ de la Lune est connu par les observations, étant égal à ${\frac {3}{11\times 60}}$ (en prenant la distance moyenne de la Lune à la Terre pour l’unité, ainsi que nous en usons toujours) ; donc

$l={\frac {l}{h}}{\frac {1}{220}}\quad {\text{et}}\quad l^{2}=\left({\frac {l}{h}}\right)^{2}{\frac {1}{48\,400}}.$

Si la Lune était sphérique, on aurait $l=h\,;$ or le disque apparent de la Lune étant à très-peu près circulaire, il est clair qu’on ne peut supposer $l>h$ qu’en admettant un allongement dans le diamètre qui est dirigé vers la Terre, et il serait hors de toute vraisemblance que l’on eût $l=2h.$ Ainsi on est comme certain que

$l^{2}<{\frac {1}{12\,100}}\,;$

d’où il s’ensuit que les valeurs de ${\frac {\mathrm {A} }{m}},{\frac {\mathrm {B} }{m}},{\frac {\mathrm {C} }{m}}$ seront nécessairement moindres que ${\frac {1}{12\,100}},$ et celles de ${\frac {\mathrm {F} }{m}},{\frac {\mathrm {G} }{m}},{\frac {\mathrm {H} }{m}}$ moindres que ${\frac {1}{24\,200}}.$

Donc, puisque ces quantités multiplient tous les termes des fonctions ${\frac {1}{m}}{\frac {\delta \mathrm {V} ''}{\delta x}},\ {\frac {1}{m}}{\frac {\delta \mathrm {V} ''}{\delta y}},\ {\frac {1}{m}}{\frac {\delta \mathrm {V} ''}{\delta z}}$ qui expriment l’effet de la non-sphéricité de la Lune dans les équations du mouvement de cette Planète (58), on voit combien ces termes doivent être petits, et combien par conséquent on est en droit de les négliger vis-à-vis des autres termes des équations de l’orbite de la Lune, ainsi qu’on en a usé jusqu’à présent. Il y a cependant