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mon Mémoire sur l’attraction des sphéroïdes elliptiques, année 1773^[1], que l’attraction d’un sphéroïde représenté par l’équation

$z^{2}+mx^{2}+ny^{2}=k,$

sur un point quelconque pris dans l’intérieur de ce sphéroïde et déterminé par les coordonnées $a,b,c$ parallèles à $x,y,z,$ se réduit à trois forces dirigées suivant $a,b,c,$ et exprimées par $2m\mathrm {B} a,2n\mathrm {F} b,2\mathrm {G} c\,;$ les quantités $\mathrm {B,F,G}$ étant des fonctions de $m$ et $n,$ telles qu’en faisant

$\mu ^{2}={\frac {1-m}{m}},\quad \nu =n-m,$

$\mathrm {Q} ={\frac {2\left(1+\mu ^{2}\right)}{m\mu ^{3}}}\operatorname {arc} \,\operatorname {tang} \mu -{\frac {2}{m\mu ^{2}}},\quad \mathrm {Q} '={\frac {2}{m\mu ^{2}}}-{\frac {2\operatorname {arc} \,\operatorname {tang} \mu }{m\mu ^{3}}},$

on ait

${\begin{aligned}\mathrm {B} =&\left({\frac {1}{2}}\mathrm {Q} +\ {\frac {\nu }{8}}\ {\frac {d\mathrm {Q} }{dm}}+\ {\frac {2\nu ^{2}}{32}}\ {\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\mathrm {Q} }{dm^{2}}}+\ldots \right)180^{\circ },\\\mathrm {F} =&\left({\frac {1}{2}}\mathrm {Q} +{\frac {3\nu }{8}}{\frac {d\mathrm {Q} }{dm}}+{\frac {10\nu ^{2}}{32}}{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\mathrm {Q} }{dm^{2}}}+\ldots \right)180^{\circ },\\\mathrm {G} =&\left(\mathrm {Q} '+{\frac {\nu }{2}}{\frac {d\mathrm {Q} '}{dm}}+{\frac {3\nu ^{2}}{8}}{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\mathrm {Q} '}{dm^{2}}}+\ldots \right)180^{\circ }.\end{aligned}}$

Or l’équation du sphéroïde du numéro précédent étant

${\frac {x^{2}}{f^{2}}}+{\frac {y^{2}}{g^{2}}}+{\frac {z^{2}}{h^{2}}}=1$

(en changeant $a',b',c'$ en $x,y,z$), on aura par la comparaison de cette équation avec la précédente

$m={\frac {h^{2}}{f^{2}}},\quad n={\frac {h^{2}}{g^{2}}},$

et, mettant pour ${\frac {f}{h}},{\frac {g}{h}}$ leurs valeurs $1+e,\ 1+i$ (63), $e$ et $i$ étantdes quantités très-petites, on aura

$m=1-2e,\quad n=1-2i\,;$

donc

$\mu ^{2}=2e,\quad \nu =2(e-i)\,;$

1. Œuvres de Lagrange, t. III, p. 640.