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Substituons pour $x$ sa valeur en $x'$ donnée ci-dessus ${\frac {x'-b}{a}},$ on aura

$x^{(2n-1)}=x'\left(\mathrm {P} ^{(2n-1)}+{\frac {\mathrm {Q} ^{(2n-1)}}{a}}\right)-{\frac {b}{a}}\mathrm {Q} ^{(2n-1)}.$

Supposons maintenant $b=0,$ on aura simplement

$x^{(2n-1)}=x'\left(\mathrm {P} ^{(2n-1)}+{\frac {\mathrm {Q} ^{(2n-1)}}{a}}\right)\,;$

donc

$\mathrm {P} ^{(2n-1)}+{\frac {\mathrm {Q} ^{(2n-1)}}{a}}={\frac {x^{(2n-1)}}{x'}}\,;$

par conséquent

$-\mathrm {Q} ^{(2n)}={\frac {x'}{x^{(2n-1)}}}.$

Ainsi l’amplification des diamètres des objets apparents, que nous avons vu être proportionnelle à $-\mathrm {Q} ^{(2n)},$ sera aussi exprimée par le rapport ${\frac {x'}{x^{(2n-1)}}}.$

Or $x'$ est dans ce cas la distance au centre de l’objectif du point où un rayon parti de l’axe traverse l’objectif, et $x^{(2n-1)}$ est de même la distance au centre de l’oculaire, du point où le même rayon traverse l’oculaire ; ainsi l’augmentation du diamètre de l’objet sera dans la proportion de la première distance à la seconde.

Si l’on suppose un point lumineux placé dans l’axe, à l’endroit où est l’objet vu par le télescope ou le microscope, il est visible qu’il enverra dans l’objectif un cône de lumière dont la base sera l’aire de l’objectif ; et cette lumière, si elle ne rencontre aucun obstacle dans le passage de l’objectif à l’oculaire, sortira tout entière par l’oculaire en formant un cylindre autour de l’axe. Car la valeur de $x^{(2n)},$ qui est la tangente de l’inclinaison des rayons à l’axe en sortant de l’oculaire, étant $-{\frac {b}{a}}\mathrm {Q} ^{(2n)},$ devient nulle lorsque $b=0\,;$ de sorte que tous les rayons doivent sortir parallèles à l’axe.

Dans ce cas donc, en considérant les rayons qui passent par les bords