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puisse former un télescope ou un microscope. Pour le microscope la distance $a$ est ordinairement très-petite, et l’on peut la prendre à volonté ; mais pour les télescopes cette distance doit être fort grande, et l’on peut la supposer infinie. Alors la condition se réduit simplement à

$\mathrm {P} ^{(2n)}=0.$

La valeur de $x^{(2n)}$ deviendra donc $-{\frac {b}{a}}\mathrm {Q} ^{(2n)}.$ Or ${\frac {b}{a}}$ est la tangente de l’angle sous lequel l’œil placé au centre de l’objectif verrait la ligne $b$ perpendiculaire à l’axe ; mais, par le télescope ou le microscope, cette même ligne sera vue sous l’angle dont la tangente sera $x^{(2n)}$ égale à $-{\frac {b}{a}}\mathrm {Q} ^{(2n)}\,;$ donc le diamètre des objets vus par le télescope ou le microscope sera augmenté dans la raison de $1$ à $-\mathrm {Q} ^{(2n)}.$ Ainsi l’amplification des diamètres apparents, ou le grossissement linéaire produit par l’instrument, sera exprimé par la fonction $-\mathrm {Q} ^{(2n)}.$ Voyons maintenant comment on peut déterminer la valeur de cette fonction sans connaître sa composition ni les quantités dont elle dépend.

L’équation (C) donne

$\mathrm {P} ^{(2n)}=-{\frac {\mathrm {Q} ^{(2n)}}{a}}\,;$

substituant cette valeur dans l’équation (B) après y avoir fait $m=2n,$

$-\mathrm {Q} ^{(2n)}\left({\frac {\mathrm {Q} ^{(2n-1)}}{a}}+\mathrm {P} ^{(2n-1)}\right)=1,$

d’où l’on tire

$-\mathrm {Q} ^{(2n)}={\frac {1}{{\cfrac {\mathrm {Q} ^{(2n-1)}}{a}}+\mathrm {P} ^{(2n-1)}}}.$

Considérons l’expression de $x^{(2n-1)},$ en faisant, dans la formule (A), $m=2n-1,$ on aura

$x^{(2n-1)}=\mathrm {P} ^{(2n-1)}x'+\mathrm {Q} ^{(2n-1)}x.$