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quelconque composé de $n$ lentilles, dont la première soit l’objectif et dont la $n$^ième soit l’oculaire. Soit un objet considéré comme un point placé à la distance $a$ au devant de l’objectif, et à la distance $b$ de l’axe qui passe par les centres de toutes les lentilles ; et soit un rayon qui, partant de cet objet, entre dans l’objectif à la distance $x'$ de son centre. Il est facile de voir que ce rayon fera avec l’axe un angle dont la tangente sera ${\frac {x'-b}{a}}\,;$ de sorte qu’on aura

$x={\frac {x'-b}{a}}.$

À la sortie de ce rayon par l’oculaire, la tangente $x$ deviendra $x^{(2n)},$ puisque l’oculaire est supposé être la $n$^ième lentille. Or, en faisant $m=2n$ dans la formule générale (A), on a

$x^{(2n)}=\mathrm {P} ^{(2n)}x'+\mathrm {Q} ^{(2n)}x,$

et, substituant pour $x$ la valeur qu’on a trouvée ci-dessus, on aura

$x^{(2n)}=\left(\mathrm {P} ^{(2n)}+{\frac {\mathrm {Q} ^{(2n)}}{a}}\right)x'-{\frac {b}{a}}\mathrm {Q} ^{(2n)}.$

Cette valeur de $x^{(2n)}$ exprime la tangente de l’angle que le rayon fait avec l’axe après sa sortie de l’oculaire ; et l’on voit qu’elle est différente pour les différents rayons qui, partant du même point de l’objet, entrent dans l’objectif à différentes distances $x'$ de l’axe. Mais, pour que tous ces rayons puissent former dans l’œil une image distincte, il faut qu’ils y entrent parallèles ou à très-peu près parallèles ; or ils ne peuvent être parallèles entre eux qu’autant que la valeur de $x^{(2n)}$ sera la même pour tous les rayons ; ainsi il faudra que cette valeur soit indépendante de la quantité $x',$ et que par conséquent on ait

(C)

$\mathrm {P} ^{(2n)}+{\frac {\mathrm {Q} ^{(2n)}}{a}}=0.$

C’est la condition nécessaire pour que l’assemblage des $n$ lentilles