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elles donnent évidemment

$\mathrm {\left(P^{(\lambda +1)}+P^{(\lambda -1)}\right)Q^{(\lambda )}-\left(Q^{(\lambda +1)}+Q^{(\lambda -1)}\right)P^{(\lambda )}=0} ,$

et par conséquent

$\mathrm {P^{(\lambda +1)}Q^{(\lambda )}-Q^{(\lambda +1)}P^{(\lambda )}=P^{(\lambda )}Q^{(\lambda -1)}-Q^{(\lambda )}P^{(\lambda -1)}} \,;$

d’où l’on voit que la valeur de $\mathrm {P^{(\lambda +1)}Q^{(\lambda )}-Q^{(\lambda +1)}P^{(\lambda )}}$ est constante pour toutes les valeurs de $\lambda .$ Or, faisant $\lambda =0,$ on a

$\mathrm {P'Q-Q'P} =1,$

puisque

$\mathrm {P'=1,\quad Q=1,\quad P=0,\quad Q'=0} .$

Donc on a, en général,

$\mathrm {P^{(\lambda +1)}Q^{(\lambda )}-Q^{(\lambda +1)}P^{(\lambda )}} =1\,;$

et, mettant $(m-1)$ à la place de $\lambda ,$ on aura

$\mathrm {P} ^{(m)}\mathrm {Q} ^{(m-1)}-\mathrm {Q} ^{(m)}\mathrm {P} ^{(m-1)}=1.$

Au reste cette méprise sur les signes n’influe en rien sur la suite du Mémoire, mais je suis bien aise de profiter de cette occasion pour la réparer.]

Quoique ces formules n’aient été trouvées que pour les rayons qui sont réfractés par des lentilles, elles s’appliquent également aux rayons réflectés par des miroirs ; car, les fonctions $\mathrm {P'',P''',\ldots ,Q'',Q'''} ,\ldots$ ne dépendant que des distances focales des lentilles et de leurs distances entre elles, il n’y aura, pour changer une lentille en miroir, qu’à prendre la distance focale du miroir à la place de celle de la lentille, en lui donnant le signe $-,$ pour que le foyer se trouve au devant du miroir.

Ainsi l’on peut regarder les formules précédentes comme contenant toute la Théorie de la Dioptrique et Catoptrique, en tant qu’on fait abstractiondes effets de l’aberration, soit de réfrangibilité, soit de sphéricité.

Cela posé, considérons, en général, un télescope ou un microscope