Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 5.djvu/703

les tangentes des angles que la direction du rayon fait successivement avec l’axe, et

$x',x''',x^{\scriptscriptstyle {\text{V}}},\ldots ,x^{(2n-1)}$

les distances à l’axe des points des lentilles par lesquels passe le rayon, distances que nous prendrons pour les demi-diamètres des ouvertures des lentilles, on aura ces relations entre les quantités $x,x',x'',\ldots$

${\begin{aligned}&x''\ \ \,=\ \ \mathrm {P} ''\ x'+\mathrm {Q} ''\ x,\\&x'''\ \ =\ \ \mathrm {P} '''x'+\mathrm {Q} '''x,\\&x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\ \ =\ \ \mathrm {P} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}x'+\mathrm {Q} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}x,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\(\mathrm {A} )\qquad \qquad \qquad \qquad &x^{(m)}=\mathrm {P} ^{(m)}x'+\mathrm {Q} ^{(m)}x,\end{aligned}}$

dans lesquelles les quantités $\mathrm {P'',P''',\ldots ,P} ^{(m)},$ $\mathrm {Q'',Q''',\ldots ,Q} ^{(m)}$ sont des fonctions des distances entre les lentilles et des distances focales des lentilles, c’est-à-dire des distances de leurs foyers pour les rayons parallèles et infiniment proches de l’axe, en faisant abstraction de l’épaisseur des lentilles et de la différente réfrangibilité des rayons.

Nous avons donné dans le Mémoire cité les valeurs de ces fonctions ; mais il suffira ici de rappeler la loi qui règne entre elles, et qui est renfermée dans cette formule générale

(B)

$\mathrm {P} ^{(m)}\mathrm {Q} ^{(m-1)}-\mathrm {Q} ^{(m)}\mathrm {P} ^{(m-1)}=1.$

[Dans le Mémoire dont il s’agit, on avait trouvé la formule

$\mathrm {P} ^{(\lambda +1)}\mathrm {Q} ^{(\lambda )}-\mathrm {Q} ^{(\lambda +1)}\mathrm {P} ^{(\lambda )}=1.$

où le signe supérieur était pour le cas de $\lambda$ pair et l’inférieur pour celui de $\lambda$ impair ; mais on s’était trompé sur les signes ; car les deux équations d’où l’on avait déduit cette formule étant (15)

${\begin{aligned}&\mathrm {P} ^{(\lambda +1)}\,-m^{\lambda }\mathrm {P} ^{(\lambda )}+\mathrm {P} ^{(\lambda -1)}=0,\\&\mathrm {Q} ^{(\lambda +1)}-m^{\lambda }\mathrm {Q} ^{(\lambda )}+\mathrm {Q} ^{(\lambda -1)}=0,\end{aligned}}$