Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 5.djvu/70

culté en supposant la densité $\mathrm {D}$ constante,

${\begin{aligned}m=&{\frac {2\mathrm {D} h^{3}\times 360^{\circ }}{3}}(1+e+i)\,;\\\mathrm {A} =&{\frac {4\mathrm {D} h^{5}\times 360^{\circ }}{3.5}}(1+2e+2i),\\\mathrm {B} =&{\frac {4\mathrm {D} h^{5}\times 360^{\circ }}{3.5}}(1+2e+i),\\\mathrm {C} =&{\frac {4\mathrm {D} h^{5}\times 360^{\circ }}{3.5}}(1+e+2i)\,;\end{aligned}}$

donc

${\begin{aligned}\mathrm {A} =&{\frac {4h^{2}m}{5}}(1+e+i),\\\mathrm {B} =&{\frac {4h^{2}m}{5}}(1+e),\\\mathrm {C} =&{\frac {4h^{2}m}{5}}(1+i),\end{aligned}}$

$m$ étant la masse entière de la Lune, et $h$ son demi-axe.

À l’égard des constantes $\mathrm {F,G,H}$ on les trouvera égales à zéro ; en sorte que les trois axes du sphéroïde seront des axes naturels de rotation.

64. Voyons maintenant quelles sont les forces qui pourraient donner à la Lune supposée fluide une figure telle que celle que nous venons d’examiner. Dénotons par $\alpha ,\beta ,\gamma$ les forces qui agissent sur chaque particule $dm$ suivant les trois coordonnées $a,b,c$ de cette particule ; on sait, par la Théorie de l’équilibre des fluides, que l’équilibre aura lieu dans toute la masse du fluide, si les quantités, $\alpha ,\beta ,\gamma$ sont des fonctions de $a,b,c,$ telles que

$\alpha da+\beta db+\gamma dc$

soit une quantité intégrable ; et alors l’intégrale de cette quantité, égalée a une constante, sera l’équation de la surface extérieure, en supposant que $a,b,c$ deviennent $a',b',c',$ que nous prenons pour les coordonnées de la surface. Donc, si $\alpha ',\beta ',\gamma '$ sont ce que deviennent les fonctions $\alpha ,$