Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 5.djvu/694

cause de la petitesse de la valeur de $z,$ on aura simplement

$(1,0)={\frac {3}{4}}{\frac {n^{2}}{\sqrt {r'^{3}}}},\quad [1,0]={\frac {15}{16}}{\frac {n^{2}z}{\sqrt {r'^{3}}}}.$

4. Si donc on fait ces substitutions, et que, pour éviter toute confusion, on désigne par $\rho ,\varpi ,\psi ,\xi ,\eta$ les valeurs de $r',p',\Sigma ',x',y'$ qui se rapportent maintenant à la Lune, qu’on fasse de plus, pour abréger,

$s'-s=\sigma ,\quad u'-u=\nu ,$

on aura ces équations relatives aux variations séculaires de la Lune

${\begin{aligned}&{\frac {d\xi }{d\varpi }}-{\frac {3}{4}}n^{2}\eta -{\frac {15}{16}}n^{2}\rho y'''=0,\qquad {\frac {d\eta }{d\varpi }}+{\frac {3}{4}}n^{2}\xi +{\frac {15}{16}}n^{2}\rho x'''=0,\\&{\frac {d\sigma }{d\varpi }}+{\frac {3}{4}}n^{2}\nu -{\frac {ds'''}{d\varpi }}=0,\qquad {\frac {d\nu }{d\varpi }}-{\frac {3}{4}}n^{2}\sigma -{\frac {du'''}{d\varpi }}=0,\\&{\frac {d\psi }{d\varpi }}=-n^{2}-{\frac {9n^{2}}{8}}\left(\xi ^{2}+\eta ^{2}\right)-{\frac {165}{32}}n^{2}\rho \left(\xi x'''+\eta y'''\right)\end{aligned}}$

$+{\frac {3n^{2}}{2}}\left(\sigma ^{2}+\nu ^{2}-x'''^{2}-y'''^{2}\right),$

dans lesquelles $\varpi$ sera l’angle du mouvement moyen uniforme de la Lune, $\psi$ la variation séculaire de ce mouvement, $\rho$ la distance moyenne de la Lune à la Terre, celle du Soleil étant prise pour l’unité, en sorte que $\rho =z,$ et $n$ la longueur du mois périodique en prenant l’année périodique pour l’unité.

Les valeurs des quantités $x''',y''',s''',u'''$ ont été données dans la deuxième Partie de la Théorie des variations séculaires [n^os 63 et 70 du Mémoire de 1782^[1]], et elles sont de cette forme

${\begin{aligned}x'''=&\mathrm {A} '''\sin(at+\alpha )+\mathrm {B} '''\sin(bt+\beta )+\ldots ,\\y'''=&\mathrm {A} '''\cos(at+\alpha )+\mathrm {B} '''\cos(bt+\beta )+\ldots ,\\s'''=&\mathrm {\overline {A}} '''\sin {\overline {\alpha }}+\mathrm {\overline {B}} '''\sin({\overline {b}}t+{\overline {\beta }})+\ldots ,\\u'''=&\mathrm {\overline {A}} '''\cos {\overline {\alpha }}+\mathrm {\overline {B}} '''\cos({\overline {b}}t+{\overline {\beta }})+\ldots ,\\\end{aligned}}$

1. Œuvres de Lagrange, t. V, p. 317 et 330.