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primitives de la première Partie on avait substitué simplement $r^{-{\frac {3}{2}}}dt,$$r'^{-{\frac {3}{2}}}dt,\ldots$ pour $dp,dp',\ldots$ parce que les Planètes étant toutes retenues dans leurs orbites par l’attraction du Soleil leurs vitesses angulaires moyennes sont simplement en raison inverse des racines carrées des cubes des distances moyennes, il faudra ici restitue $r'^{\frac {3}{2}}dp'$ pour $dt,$ puisque le Soleil et la Lune, quoique décrivant leurs orbites autour de la Terre, sont cependant retenus dans ces orbites par des forces différentes, la Lune par l’attraction de la Terre et le Soleil par sa propre attraction sur la Terre ; de sorte que leurs vitesses angulaires moyennes ne sont plus simplement dans le rapport inverse des racines carrées des cubes des distances. On aura donc de cette manière les quatre équations

${\begin{aligned}{\frac {dx'}{dp'}}&-r'^{\frac {3}{2}}(1,0)y'+r'^{\frac {3}{2}}[1,0]y=0,\\{\frac {dy'}{dp'}}&+r'^{3}\ (1,0)x'-r'^{\frac {3}{2}}[1,0]x=0,\\{\frac {ds'}{dp'}}&+r'^{3}(1,0)(u'-u)=0,\\{\frac {du'}{dp'}}&-r'^{\frac {3}{2}}(1,0)(s'-s)=0.\end{aligned}}$

Les valeurs des coefficients $(1,0)$ et $[1,0]$ sont données par ces formule [n^o 3 de la deuxième Partie citée^[1]]

${\begin{aligned}&(1,0)={\frac {\mathrm {PT} }{\sqrt {r^{2}r'}}}={\frac {{\frac {3}{2}}z^{2}\mathrm {N} }{\left(1-z^{2}\right)^{2}{\sqrt {r'^{3}}}}}\mathrm {T} ,\\\\&[1,0]\ ={\frac {3z\left(1+z^{2}\right)\mathrm {N} -{\frac {3}{2}}z^{2}\mathrm {M} }{\left(1-z^{2}\right)^{2}{\sqrt {r'^{3}}}}}\mathrm {T} ,\end{aligned}}$

les quantités $\mathrm {M,N} ,z$ et $\mathrm {T}$ étant les mêmes que ci-dessus ; de sorte qu’à

1. Œuvres de Lagrange, t. V, p. 215.