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nous l’avons vu ci-dessus, être supposée égale au rapport de la masse du Soleil à celle de la Terre. Or, nommant $n$ le rapport du mois périodique à l’année sidérale, on sait que le rapport de la masse de la Terre à celle du Soleil est exprimé par ${\frac {z^{3}}{n^{2}}},$ de sorte qu’on aura $\mathrm {T} ={\frac {n^{2}}{z^{3}}}\,;$ et, suivant les déterminations que nous avons données dans le n^o 6 de la deuxième Partie de la Théorie des variations séculaires (Mémoire de 1782), on a

${\begin{alignedat}{2}\log n=&8{,}8739093,&\qquad n=&0{,}074801,\\\log z=&7{,}3950320,&z=&0{,}002483.\end{alignedat}}$

Ainsi, $z$ étant une fraction fort petite, on pourra, en développant les expressions des coefficients $(0),(1),\ldots ,$ s’en tenir aux termes qui contiendront les puissances de $z$ les moins élevées. On fera donc

$\mathrm {M} =1+{\frac {z^{2}}{4}},\quad \mathrm {N} ={\frac {z}{2}}-{\frac {z^{3}}{16}},$

et, substituant ces valeurs, on trouvera en ne retenant que le premier terme

$(0)=-n^{2},\quad (1)=-{\frac {9n^{2}}{8}},\quad (3)={\frac {165}{32}}n^{2}z,\quad (4)={\frac {3n^{2}}{2}}.$

3. Il reste encore à déterminer les quantités $x,y,x',y',s,u,s',u'.$ Comme les quantités $x,y,z,u$ se rapportent maintenant à l’orbite du Soleil autour de la Terre, il est visible qu’elles ne sont autre chose que celles que nous avons désignées par $x''',y''',s''',u'''$ prises avec un signe contraire (parce que celles-ci se rapportaient à l’orbite de la Terre autour du Soleil), et dont nous avons donné les expressions générales et complètes dans la deuxième Partie de la Théorie citée.

Mais, pour les quantités $x',y',s',u'$ qui se rapportent maintenant à l’orbite de la Lune autour de la Terre, il faudra les déterminer par des équations analogues à celles qui ont servi à déterminer ces quantités pour Jupiter en tant qu’il est dérangé par Saturne. Il n’y aura donc qu’à appliquer ici les équations différentielles du n^o 49 de la deuxième Partie de la Théorie citée [Mémoire de 1782^[1]] ; mais, comme dans les formules

1. Œuvres de Lagrange, t. V, p. 288.