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tions données de la quantité $z={\frac {r'}{r}},$ où $r$ sera maintenant la distance moyenne du Soleil et $r'$ la distance moyenne de la Lune à la Terre.

Mais avant de donner les valeurs de ces coefficients nous devons rectifier une inexactitude qui s’est glissée dans l’expression du coefficient (2) du n^o  22 du Mémoire cité^[1]. Dans le numérateur de cette formule le second terme est $r^{2}r'^{3}(r,r')_{1},$ au lieu qu’il doit être $r^{4}r'(r,r')_{1},$ comme il est aisé de s’en convaincre en faisant les substitutions indiquées dans le numéro précédent. Au moyen de cette correction la valeur générale du coefficient (2) devient égale à celle du coefficient (4) prise avec un signe contraire ; et c’est ainsi qu’il faut corriger les expressions du coefficient (2) des n^os 23 et 27 pour Saturne et Jupiter. De cette manière l’équation pour la détermination de la quantité $\Sigma '$ se simplifie et devient

${\frac {d\Sigma '}{dp'}}=(0)+(1)\left(x'^{2}+y'^{2}\right)+(3)\left(xx'+yy'\right)+(4)\left[(s-s')^{2}+(u-u')^{2}\right],$

où l’on aura (n^o  27 du Mémoire cité)

${\begin{aligned}(0)=&\mathrm {T} {\frac {2z^{3}\mathrm {M} -6z^{2}\mathrm {N} }{\left(1-z^{2}\right)^{2}}},\\(1)=&\mathrm {T} {\frac {-6z^{3}\mathrm {M} +3\left(z^{2}-3z^{4}\right)\mathrm {N} }{4\left(1-z^{2}\right)^{3}}},\\(3)=&\mathrm {T} {\frac {3\left(5z^{2}-z^{4}\right)\mathrm {M} -6\left(5z-6z^{3}-z^{5}\right)\mathrm {N} }{4\left(1-z^{2}\right)^{3}}},\\(4)=&\mathrm {T} {\frac {3z^{3}\mathrm {M} +3z^{4}\mathrm {N} }{2\left(1-z^{2}\right)^{3}}},\\\mathrm {M} =&1+\alpha ^{2}z^{2}+\beta ^{2}z^{4}+\gamma ^{2}z^{6}+\ldots ,\\\mathrm {N} \ =&\alpha z-\alpha \beta z^{3}-\beta \gamma z^{5}-\ldots ,\end{aligned}}$

en supposant

$\alpha ={\frac {1}{2}},\quad \beta ={\frac {1}{2}}.{\frac {1}{4}},\quad \gamma ={\frac {1}{2}}.{\frac {1}{4}}.{\frac {1}{6}},\ldots .$

À l’égard de la quantité $\mathrm {T}$ qui représentait la masse de Saturne, ou plutôt le rapport de cette masse à celle du Soleil, elle devra, comme

1. Œuvres de Lagrange, t. V, p. 407.