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et, développant les deux facteurs,

(H)

$\left\{{\begin{aligned}\mathrm {D} _{s,r}&=\left[md_{1,0}+{\frac {m(m-1)}{2}}d_{2,0}+{\frac {m(m-1)(m-2)}{2.3}}d_{3,0}+\ldots \right]_{s}\\&\times \,\left[n\ d_{0,1}+{\frac {n\ (n\ -1)}{2}}d_{0,2}\,+{\frac {n\ (n-1)\ (n-2)\ }{2.3}}d_{0,3}+\ldots \right]_{r}.\end{aligned}}\right.$

De sorte qu’il n’y aura plus qu’à développer suivant les indices $s$ et $r,$ comme on l’a fait dans le n^o  6, et ensuite effectuer la multiplication comme dans les deux numéros précédents. On aura ainsi pour les séries doubles une formule semblable à celle du n^o  6 pour les séries simples.

Pareillement, par l’extraction des indices $m$ et $n,$ on aura

${\begin{aligned}d_{0,0}+d_{1,0}=&\mathrm {\left(D_{0,0}+D_{1,0}\right)} _{\frac {1}{m}},\\d_{0,0}+d_{0,1}=&\mathrm {\left(D_{0,0}+D_{0,1}\right)} _{\frac {1}{n}}\,;\end{aligned}}$

et de là on tirera par un procédé semblable au précédent

$d_{s,r}=\left[\mathrm {\left(D_{0,0}+D_{1,0}\right)} _{\frac {1}{m}}-\mathrm {D} _{0,0}\right]_{s}\times \left[\mathrm {\left(D_{0,0}+D_{0,1}\right)} _{\frac {1}{n}}-\mathrm {D} _{0,0}\right]_{r},$

savoir

(I)

$\left\{{\begin{aligned}d_{s,r}&=\left[{\frac {1}{m}}\mathrm {D} _{1,0}+{\frac {1}{2m}}\left({\frac {1}{m}}-1\right)\mathrm {D} _{2,0}\right.\\&\quad \qquad \qquad \left.+{\frac {1}{2.3m}}\left({\frac {1}{m}}-1\right)\left({\frac {1}{m}}-2\right)\mathrm {D} _{3,0}+\ldots \right]_{s}\\&\times \left[{\frac {1}{n}}\ \mathrm {D} _{0,1}+{\frac {1}{2n}}\ \left({\frac {1}{n}}-1\right)\ \mathrm {D} _{0,2}\right.\\&\quad \qquad \qquad \left.+{\frac {1}{2.3n}}\ \left({\frac {1}{n}}\ -1\right)\left({\frac {1}{n}}\ -2\right)\mathrm {D} _{0,3}+\ldots \right]_{r},\end{aligned}}\right.$

où il faudra encore développer le second membre comme dans la formule (H) ci-dessus. Cette expression de $d_{s,r}$ sera analogue à celle de $d_{s}$ du n^o  7, et pourra servir aux mêmes usages pour l’interpolation des Tables à double entrée.

15. Enfin, si l’on suppose $m$ et $n$ infinis, les différences désignées par $d$ deviendront infiniment petites, et l’on aura pour les fonctions à deux variables des formules analogues à celles des n^os 9 et 10. Ainsi, en regardant $z$ comme fonction de $x$ et $y,$ et désignant par la caractéris-