et, développant les deux facteurs,
(H)
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De sorte qu’il n’y aura plus qu’à développer suivant les indices
et
comme on l’a fait dans le no 6, et ensuite effectuer la multiplication comme dans les deux numéros précédents. On aura ainsi pour les séries doubles une formule semblable à celle du no 6 pour les séries simples.
Pareillement, par l’extraction des indices
et
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}d_{0,0}+d_{1,0}=&\mathrm {\left(D_{0,0}+D_{1,0}\right)} _{\frac {1}{m}},\\d_{0,0}+d_{0,1}=&\mathrm {\left(D_{0,0}+D_{0,1}\right)} _{\frac {1}{n}}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f4e53025784a1fe3235780df360c28aaf1c7c4b)
et de là on tirera par un procédé semblable au précédent
![{\displaystyle d_{s,r}=\left[\mathrm {\left(D_{0,0}+D_{1,0}\right)} _{\frac {1}{m}}-\mathrm {D} _{0,0}\right]_{s}\times \left[\mathrm {\left(D_{0,0}+D_{0,1}\right)} _{\frac {1}{n}}-\mathrm {D} _{0,0}\right]_{r},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcf93bd0c5ffd50a5e841fb0eca17ce1365079f5)
savoir
(I)
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où il faudra encore développer le second membre comme dans la formule (H) ci-dessus. Cette expression de
sera analogue à celle de
du no 7, et pourra servir aux mêmes usages pour l’interpolation des Tables à double entrée.
15. Enfin, si l’on suppose
et
infinis, les différences désignées par
deviendront infiniment petites, et l’on aura pour les fonctions à deux variables des formules analogues à celles des nos 9 et 10. Ainsi, en regardant
comme fonction de
et
et désignant par la caractéris-