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Maintenant il n’y aura plus qu’à faire le produit de ces quantités, en observant la règle prescrite, et l’on aura

${\begin{aligned}\mathrm {D} _{m,n}=&\mathrm {T} _{m,n}-m\mathrm {T} _{m-1,n}+{\frac {m(m-1)}{2}}\mathrm {T} _{m-2,n}-\ldots \\&-n\mathrm {T} _{m,n-1}-nm\mathrm {T} _{m-1,n-1}-n{\frac {m(m-1)}{2}}\mathrm {T} _{m-2,n-2}+\ldots \\&+{\frac {n(n-1)}{2}}\mathrm {T} _{m,n-2}-{\frac {n(n-1)}{2}}m\mathrm {T} _{m-1,n-2}+\ldots \\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

13. Réciproquement on aura l’expression d’un terme quelconque $\mathrm {T} _{m,n}$ par les différences, au moyen des équations

$\mathrm {T_{1,0}=D_{0,0}+D_{1,0}} \quad {\text{et}}\quad \mathrm {T_{0,1}=D_{0,0}+D_{0,1}} ,$

à cause de

$\mathrm {T_{0,0}=D_{0,0}} ,$

comme il résulte de la formule précédente ; car, en élevant d’abord la première à l’indice $m$ et la seconde à l’indice $n,$ les multipliant ensuite l’une par l’autre, on aura

$\mathrm {T} _{m,n}=\mathrm {\left(D_{0,0}+D_{1,0}\right)} _{m}\mathrm {\left(D_{0,0}+D_{0,1}\right)} _{n},$

d’où l’on tirera comme dans le numéro précédent

${\begin{aligned}\mathrm {T} _{m,n}=&\left[\mathrm {D} _{0,0}+m\mathrm {D} _{1,0}+{\frac {m(m-1)}{2}}\mathrm {D} _{2,0}+\ldots \right]\\\times &\left[\mathrm {D} _{0,0}+n\ \mathrm {D} _{0,1}+{\frac {n\ (n\ -1)}{2}}\mathrm {D} _{0,2}+\ldots \right]\\=&\mathrm {D} _{0,0}+m\mathrm {D} _{1,0}+{\frac {m(m-1)}{2}}\mathrm {D} _{2,0}+\ldots \\&+n\mathrm {D} _{0,1}+nm\mathrm {D} _{1,1}+n{\frac {m(m-1)}{2}}\mathrm {D} _{2,1}+\ldots \\&+{\frac {n(n-1)}{2}}\mathrm {D} _{0,2}+{\frac {n(n-1)}{2}}m\mathrm {D} _{1,2}+{\frac {n(n-1)}{2}}{\frac {m(m-1)}{2}}\mathrm {D} _{2,2}+\ldots \\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$