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Si l’on désigne de même par

$\mathrm {D_{0,0},\ \ D_{1,0},\ \ D_{2,0},\ldots ,\quad D_{0,1},\ \ D_{1,1},\ \ D_{2,1},\ldots ,\quad D_{0,2},\ \ D_{1,2},\ \ D_{2,2}} ,\ldots ,\quad \ldots ,$

et, en général, par $\mathrm {D} _{m,n}$ n les différences successives de ces termes, de manière que le premier indice $m$ indique des différences prises dans le sens horizontal, et le second $n$ des différences prises dans le sens vertical, on aura

${\begin{aligned}&\mathrm {D_{1,0}=T_{1,0}-T_{0,0}} \\&\mathrm {D_{2,0}=T_{2,0}-2T_{1,0}+T_{0,0}} \\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&\mathrm {D_{0,1}=T_{0,1}-T_{0,0}} \\&\mathrm {D_{0,2}=T_{0,2}-2T_{0,1}+T_{0,0}} \\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&\mathrm {D_{1,1}=T_{1,1}-T_{0,1}-(T_{1,0}-T_{0,0})=T_{1,1}-T_{1,0}-T_{0,1}+T_{0,0}} \\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et ainsi de suite ; et l’on pourra trouver tout de suite l’expression de $\mathrm {D} ^{m,n}$ par une opération semblable à celle du n^o 1.

12. Car, puisque

$\mathrm {D_{1,0}=T_{1,0}-T_{0,0}} \quad {\text{et}}\quad \mathrm {D_{0,1}=T_{0,1}-T_{0,0}} ,$

on aura d’abord, en élevant aux indices $m$ et $n,$

$\mathrm {D} _{m,0}=\mathrm {\left(T_{1,0}-T_{0,0}\right)} _{m},\quad \mathrm {D} _{0,n}=\mathrm {\left(T_{0,1}-T_{0,0}\right)} _{n},$

et, multipliant ces équations l’une par l’autre, en observant de rapporter toujours les premiers indices aux premiers et les seconds aux seconds, il viendra

$\mathrm {D} _{m,n}=\mathrm {\left(T_{1,0}-T_{0,0}\right)} _{m}\mathrm {\left(T_{0,1}-T_{0,0}\right)} _{n},$

c’est-à-dire, en développant d’abord les deux facteurs,

(G)

$\left\{{\begin{aligned}\mathrm {D} _{m,n}&=\left[\mathrm {T} _{m,0}-m\mathrm {T} _{m-1,0}+{\frac {m(m-1)}{2}}\mathrm {T} _{m-2,0}-\ldots \right]\\&\times \left[\mathrm {T} _{0,n}\ \,-n\ \mathrm {T} _{0,n-1}\ +{\frac {n\,(n\ -1)}{2}}\mathrm {T} _{0,n-2}\ -\ldots \right].\end{aligned}}\right.$