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10. Réciproquement, si dans la même formule (D) on change $\mathrm {D}$ en $d$ et $m$ en ${\frac {1}{m}}$ comme nous l’avons dit dans le n^o 7, et que par conséquent suivant l’hypothèse du numéro précédent, on écrive $d^{s}y$ au lieu de $\mathrm {D} _{s},$ $\mathrm {D} ^{s}y$ au lieu de $d_{s}$ et ${\frac {dx}{\mathrm {D} x}}$ au lieu de $m$ qui devient alors une quantité infiniment petite, on aura

(F)

${\frac {d^{s}y}{dx^{s}}}={\frac {1}{\mathrm {D} x^{s}}}\left(\mathrm {D} y-{\frac {1}{2}}\mathrm {D} ^{2}y+{\frac {1}{3}}\mathrm {D} ^{3}y-\ldots \right)^{s},$

où il faudra de même développer le second membre comme une puissance $s,$ en ayant soin d’écrire $\mathrm {D} ^{mn}y$ au lieu de $(\mathrm {D} ^{m}y)^{n}.$

Cette formule donnera les différentielles de tous les ordres d’une fonction quelconque par le moyen de ses différences finies, et, si l’on fait $s$ négatif, elle donnera les intégrales de la fonction par le moyen des sommes et des différences des valeurs de la même fonction répondantes aux valeurs de $x$ dont $\mathrm {D} x$ est la différence finie ; ce qui revient à la détermination des aires par les ordonnées équidistantes. [Voyez là-dessus le Mémoire cité dans le volume de 1772^[1].]

11. On peut traiter par les mêmes-principes les séries doubles, triples, $\ldots ,$ c’est-à-dire celles dont les termes varient de deux ou de pluf sieurs manières différentes, et qui forment des Tables à double, à triple entrée, $\ldots .$ Soit, par exemple, la série double

${\begin{array}{rrrrrr}\mathrm {T} _{0,0}&\mathrm {T} _{1,0}&\mathrm {T} _{2,0}&\mathrm {T} _{3,0}&\mathrm {T} _{4,0},&\ldots \\\mathrm {T} _{0,1}&\mathrm {T} _{1,1}&\mathrm {T} _{2,1}&\mathrm {T} _{3,1}&\mathrm {T} _{4,1},&\ldots \\\mathrm {T} _{0,2}&\mathrm {T} _{1,2}&\mathrm {T} _{2,2}&\mathrm {T} _{3,2}&\mathrm {T} _{4,2},&\ldots \\\mathrm {T} _{0,3}&\mathrm {T} _{1,3}&\mathrm {T} _{2,3}&\mathrm {T} _{3,3}&\mathrm {T} _{4,3},&\ldots \\\mathrm {T} _{0,4}&\mathrm {T} _{1,4}&\mathrm {T} _{2,4}&\mathrm {T} _{3,4}&\mathrm {T} _{4,4},&\ldots \\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots ,&\ldots \end{array}}$

dans laquelle un terme quelconque comme $\mathrm {T} _{m,n}$ a deux indices, le premier $m$ pour marquer son rang dans la direction horizontale, et le second $n$ pour marquer son rang dans la direction verticale.

1. Œuvres de Lagrange, t. III, p. 441.