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et

$a={\frac {1}{m^{r-2}}},\quad b={\frac {(r-2)(1-m)}{2m^{r-1}}},$

$c={\frac {(r-2)(1-m)(1-2m)}{2.3m^{r}}}+{\frac {(r-2)(r-3)(1-m)^{2}}{8m^{r}}}\,;$

ainsi de suite. À l’égard des différences plus hautes que la rième, elles seront toutes nulles, comme on le voit par la formule en faisant $s>r.$ Ainsi il suffira de chercher les valeurs de $d_{1},d_{2},d_{3},\ldots$ jusqu’à $d_{r}\,;$ et l’on pourra ensuite employer les additions successives pour former et continuer aussi loin qu’on voudra la Table des termes $t_{0},t_{1},t_{2},\ldots .$

9. Si dans la formule (D) du n^o 6 on fait $m$ infiniment grand, et par conséquent les différences représentées par $d$ infiniment petites, on aura la relation entre les différences finies et les différentielles d’une fonction quelconque. Considérant donc une fonction $y$ de $x,$ dont les différences finies soient désignées par $\mathrm {D} y,$ et les différentielles par $dy,$ celles de $x$ l’étant de même par $\mathrm {D} x$ et $dx\,;$ il n’y aura qu’à faire $m={\frac {\mathrm {D} x}{dx}},$ et écrire $\mathrm {D} y,dy$ au lieu de $\mathrm {D}$ et $d,$ en plaçant suivant l’usage les indices de l’ordre des différences et des différentielles au haut des lettres $\mathrm {D}$ et $d.$ On aura ainsi

(E)

$\mathrm {D} ^{s}y=\left({\frac {\mathrm {D} xdy}{dx}}+{\frac {\mathrm {D} x^{2}d^{2}y}{2dx^{2}}}+{\frac {\mathrm {D} x^{3}d^{3}y}{2.3dx^{3}}}+\ldots \right)^{s},$

où il n’y aura qu’à développer le second membre comme une puissance $s$ du polynôme ${\frac {\mathrm {D} xdy}{dx}}+\ldots ,$ en ayant soin d’écrire $d^{mn}y$ au lieu de $\left(d^{m}y\right)^{n}.$

Par cette formule on peut trouver les différences finies de tous les ordres au moyen des différentielles, et, si l’on fait $s$ négatif, ce qui changera les différences en sommes et les différentielles en intégrales, on aura la somme d’un ordre quelconque des termes d’une série par les intégrales, et les différentielles de la fonction qui exprime le terme général de la série.