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lution du Problème que nous venons de traiter (5). Ainsi l’on aura par les formules ci-dessus l’expression de la différence d’un ordre quelconque $s$ de la série interpolée, au moyen des différences données de la série proposée. On connaîtra donc par là les différences successives

$d_{1},\ \ d_{2},\ \ d_{3},\ldots$

de la série

$t_{0},\ \ t_{1},\ \ t_{2},\ \ t_{3},\ldots$

dont le premier terme $t_{0}=\mathrm {T} _{0},$ et au moyen de ces différences on pourra trouver successivement tous les termes de cette série par des additions successives, comme nous l’avons vu dans le n^o 2, parce qu’en employant ces différences, un terme quelconque $t_{n}$ de la série dont il s’agit sera exprimé par la formule

$t_{0}+nd_{1}+{\frac {n(n-1)}{2}}d_{2}+{\frac {n(n-1)(n-2)}{2.3}}d_{3}+\ldots ,$

dans laquelle $n$ sera un nombre entier comme dans le n^o 2.

8. Si $\mathrm {D} _{r}$ est la dernière différence de la série donnée

$\mathrm {T_{0},\ \ T_{1},\ \ T_{2}} ,\ldots ,$

en sorte que

$\mathrm {D} _{r+1}=0,\quad \mathrm {D} _{r+2}=0,\ldots ,$

on aura :

1^o En faisant $s=r,$

$d_{r}=a\mathrm {D} _{r}\quad {\text{et}}\quad a={\frac {1}{m^{r}}}\,;$

ce qui s’accorde-avec ce que Mouton avait trouvé par induction.

2^o En faisant $s=r-1,$

$d_{r-1}=a\mathrm {D} _{r-1}+b\mathrm {D} _{r},\quad {\text{et}}\quad a={\frac {1}{m^{r-1}}},\quad b={\frac {(r-1)(1-m)}{2m^{r}}}.$

3^o En faisant $s=r-2,$

$d_{r-2}=a\mathrm {D} _{r-2}+b\mathrm {D} _{r-1}+c\mathrm {D} _{r},$