Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 5.djvu/676

de tous les ordres d’une série proposée dans laquelle on ne prendrait les termes que de deux en deux, ou de trois en trois, ou, en général, de $m$ en $m.$

À l’égard des coefficients $\mathrm {A,B,C} ,\ldots ,$ on peut les trouver par le développement de la puissance $s$ du polynôme, ou bien par la comparaison des termes qui contiendront les mêmes puissances de $x,$ après avoir pris les différentielles logarithmiques des deux membres. Ce dernier procédé donne les formules suivantes dont la loi se présente d’elle-même

${\begin{aligned}&\mathrm {A} =m^{s},\\&\mathrm {B} =s{\frac {m-1}{2}}\mathrm {A} ,\\&\mathrm {C} ={\frac {2s}{2}}{\frac {(m-1)(m-2)}{2.3}}\mathrm {A} +{\frac {s-1}{2}}{\frac {m-1}{2}}\mathrm {B} ,\\&\mathrm {E} ={\frac {3s}{3}}{\frac {(m-1)(m-2)(m-3)}{2.3.4}}\mathrm {A} +{\frac {2s-1}{3}}{\frac {(m-1)(m-2)}{2.3}}\mathrm {B} +{\frac {s-2}{3}}{\frac {m-1}{2}}\mathrm {C} ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

7. La même équation

$\mathrm {D_{0}+D_{1}} =(d_{0}+d_{1})_{m},$

en extrayant pour ainsi dire la racine $m,$ donnera celle-ci

$d_{0}+d_{1}=(\mathrm {D_{0}+D_{1}} )_{\frac {1}{m}},$

d’où l’on tire, à cause de $d_{0}=\mathrm {D} _{0},$

$d_{1}=(\mathrm {D_{0}+D_{1}} )_{\frac {1}{m}}-\mathrm {D} _{0},$

et de là

$d_{s}=\left[(\mathrm {D_{0}+D_{1}} )_{\frac {1}{m}}-\mathrm {D} _{0}\right]_{s},$

formule qu’on développera comme la précédente ; et il est clair qu’il n’y