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dra avoir les différences de la première série exprimées par celles de la seconde, ou réciproquement.

6. Nous aurons d’abord

$\mathrm {D} _{1}=(d_{0}+d_{1})_{m}-\mathrm {D} _{0}\,;$

mais

$\mathrm {D} _{0}=\mathrm {T} _{0}=t_{0}=d_{0}\,;$

donc

$\mathrm {D} _{1}=(d_{0}+d_{1})_{m}-d_{0},$

et, élevant à l’indice $s,$

$\mathrm {D} _{s}=\left[(d_{0}+d_{1})_{m}-d_{0}\right]_{s}.$

Or $(d_{0}+d_{1})_{m}$ se développe dans la série

$d_{0}+md_{1}+{\frac {m(m-1)}{2}}d_{2}+{\frac {m(m-1)(m-2)}{2.3}}d_{3}+\ldots \,;$

donc, faisant cette substitution, on aura

(D)

$\mathrm {D} _{s}=\left[md_{1}+{\frac {m(m-1)}{2}}d_{2}+{\frac {m(m-1)(m-2)}{2.3}}d_{3}+\ldots \right]_{s}\,;$

on développera le second membre de cette équation comme si c’était la puissance $s$^ième d’un polynôme en $d,$ en ayant soin de placer toujours au bas de la lettre $d$ les exposants qui devraient affecter la quantité $d$ suivant les règles des exposants.

Ainsi, si l’on suppose, pour abréger,

${\begin{aligned}&\left[mx+{\frac {m(m-1)}{2}}x^{2}+{\frac {m(m-1)(m-2)}{2.3}}x^{3}+\ldots \right]^{s}\\&\quad =\mathrm {A} x^{s}+\mathrm {B} x^{s+1}+\mathrm {C} x^{s+2}+\mathrm {E} x^{s+3}+\ldots ,&\end{aligned}}$

on aura sur-le-champ :

$\mathrm {D} _{s}=\mathrm {A} d_{s}+\mathrm {B} d_{s+1}+\mathrm {C} d_{s+2}+\mathrm {E} d_{s+3}+\ldots .$

Cette formule peut servir, comme l’on voit, à trouver les différences