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5. Considérons maintenant deux séries correspondantes, l’une représentée par

$\mathrm {T_{0},\ \ T_{1},\ \ T_{2},\ \ T_{3}} ,\ldots$

dont les différences successives soient

$\mathrm {D_{0},\ \ D_{1},\ \ D_{2},\ \ D_{3}} ,\ldots$

comme plus haut, l’autre représentée par

$t_{0},\ \ t_{1},\ \ t_{2},\ \ t_{3},\ldots$

et dont les différences successives soient

$d_{0},\ \ d_{1},\ \ d_{2},\ \ d_{3},\ldots \,;$

supposons que les termes de la première série soient identiques avec les termes de la seconde pris à des intervalles égaux, de manière que l’on ait, en général,

$\mathrm {T} _{s}=t_{ms},$

c’est-à-dire que si par exemple $m=2$ on ait

$\mathrm {T} _{0}=t_{0},\ \ \mathrm {T} _{1}=t_{2},\ \ \mathrm {T} _{2}=t_{4},\ \ \mathrm {T} _{3}=t_{6},\ldots \,;$

si $m=3$ on ait

$\mathrm {T} _{0}=t_{0},\ \ \mathrm {T} _{1}=t_{3},\ \ \mathrm {T} _{2}=t_{6},\ \ \mathrm {T} _{3}=t_{9},\ldots \,;$

et ainsi de suite ; on propose de trouver la relation entre les différences $\mathrm {D_{0},D_{1},D_{2}} ,\ldots$ et les différences $d_{0},d_{1},d_{2},\ldots .$

L’équation

$\mathrm {T} _{s}=t_{sm},$

se réduit, en extrayant la racine $s,$ à

$\mathrm {T} _{1}=t_{m},$

et, mettant pour $\mathrm {T} _{1}$ sa valeur $\mathrm {D_{0}+D_{1}}$ (2) de même que pour $t_{1}$ sa valeur $d_{0}+d_{1},$ elle donnera

$\mathrm {D_{0}+D_{1}} =(d_{0}+d_{1})_{m}\,;$

d’où l’on tirera la valeur de $\mathrm {D} _{1}$ en $d_{1},$ ou de $d_{1}$ en $\mathrm {D} _{1}$ suivant qu’on vou-