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série algébrique dont le terme général $\mathrm {T} _{n}$ serait de la forme

$\mathrm {T} _{n}=\mathrm {P} _{0}+n\mathrm {P} _{1}+{\frac {n^{2}}{2}}\mathrm {P} _{2}+{\frac {n^{3}}{2.3}}\mathrm {P} _{3}+\ldots ,$

$\mathrm {P_{0},P_{1},P_{2}} ,\ldots$ étant des coefficients donnés, et $n$ étant supposé successivement $0,1,2,3,\ldots .$ Car, en comparant cette expression de $\mathrm {T} _{n}$ à celle de la formule (C), on aura

$\mathrm {P_{0}=D_{0}=T_{0},\quad P_{1}=\log(1+D_{1}),\quad P_{2}=\left[\log(1+D_{1})\right]^{2}} ,\ldots ,$

et, en général,

$\mathrm {P} _{s}=\left[\log(1+\mathrm {D} _{1})\right]^{s}.$

Cette équation donne

$\mathrm {P_{1}=\log(1+D_{1}),\quad 1+D_{1}} =e^{\mathrm {P} _{1}}=\mathrm {1+P_{1}+{\frac {1}{2}}P_{2}+{\frac {1}{2.3}}P_{3}} +\ldots \,;$

donc

$\mathrm {D_{1}=P_{1}+{\frac {1}{2}}P_{2}+{\frac {1}{2.3}}P_{3}} +\ldots \,;$

et de là, pour un indice quelconque $s,$

$\mathrm {D} _{s}=\left(\mathrm {P_{1}+{\frac {1}{2}}P_{2}+{\frac {1}{2.3}}P_{3}+{\frac {1}{2.3.4}}P_{4}} +\ldots \right)^{s},$

où il n’y aura qu’à développer la puissance $s,$ en convertissant les exposants de $\mathrm {P}$ en indices, et observant relativement à ces indices les mêmes lois que pour les exposants. Cette formule peut être utile dans quelques occasions ; elle l’est surtout pour transformer une série de la forme en une série équivalente de la forme

$\mathrm {P} _{0}+n\mathrm {P} _{1}+{\frac {n^{2}}{2}}\mathrm {P} _{2}+{\frac {n^{3}}{2.3}}\mathrm {P} _{3}+\ldots$

en une série équivalente de la forme

$\mathrm {D} _{0}+n\mathrm {D} _{1}+{\frac {n(n-1)}{2}}\mathrm {D} _{2}+{\frac {n(n-1)(n-2)}{2.3}}\mathrm {D} _{3}+\ldots .$