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or on a par les formules connues donc on aura

$e^{n\log(1+\mathrm {D} _{1})}=1+n\log(1+\mathrm {D} _{1})+{\frac {n^{2}}{2}}\left[\log(1+\mathrm {D} _{1})\right]^{2}+{\frac {n^{3}}{2.3}}\left[\log(1+\mathrm {D} _{1})\right]^{3}+\ldots \,;$

donc on aura

(C)

$\mathrm {T} _{n}=\mathrm {D} _{0}+n\log(1+\mathrm {D} _{1})+{\frac {n^{2}}{2}}\left[\log(1+\mathrm {D} _{1})\right]^{2}+{\frac {n^{3}}{2.3}}\left[\log(1+\mathrm {D} _{1})\right]^{3}+\ldots ,$

j’ai négligé ici de multiplier par $\mathrm {D} _{0}$ les termes qui contiennent des puissances de $\log(1+\mathrm {D} _{1}),$ parce que cette multiplication n’y apporterait aucun changement, l’indice $0$ ne pouvant rien changer à ceux auxquels il se trouverait ajouté.

Maintenant il n’y aura qu’à développer $\log(1+\mathrm {D} _{1})$ par les formules ordinaires, et l’on aura

${\begin{aligned}\mathrm {T} _{n}=&\mathrm {D} _{0}+n\mathrm {\left(D_{1}-{\frac {1}{2}}D_{2}+{\frac {1}{3}}D_{3}-\ldots \right)} \\&+\,\ {\frac {n^{2}}{2}}\mathrm {\left(D_{1}-{\frac {1}{2}}D_{2}+{\frac {1}{3}}D_{3}-\ldots \right)} ^{2}\\&+\,{\frac {n^{3}}{2.3}}\mathrm {\left(D_{1}\,-{\frac {1}{2}}D_{2}+{\frac {1}{3}}D_{3}-\ldots \right)} ^{3}\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

où il reste encore à développer les puissances de

$\mathrm {D_{1}-{\frac {1}{2}}D_{2}+{\frac {1}{3}}D_{3}} -\ldots$

à la manière ordinaire, en traitant les indices comme des exposants. Cette formule ne sera donc que le développement de la formule (B) en effectuant les multiplications et ordonnant suivant les puissances de $n\,;$ mais, de la manière dont elle est présentée, on y voit la loi des termes qu’il serait très-difficile de découvrir par le développement dont il s’agit.

4. Au reste la formule (C) donne le moyen de trouver d’une manière générale l’expression de la différence d’un ordre quelconque de toute