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ou bien, en mettant pour $\mathrm {T} _{0}$ le terme $\mathrm {D} _{0}$ qui lui est égal,

$\mathrm {T_{1}=D_{0}+D_{1}} \,;$

élevant à l’exposant ou indice $n,$ on aura de même

$\mathrm {T} _{n}=(\mathrm {D_{0}+D_{1}} )_{n}\,;$

et développant par la formule du binôme, en ayant soin de mettre les exposants au bas pour servir d’indices,

(B)

$\mathrm {T} _{n}=\mathrm {D} _{0}+n\mathrm {D} _{1}+{\frac {n(n-1)}{2}}\mathrm {D} _{2}+{\frac {n(n-1)(n-2)}{2.3}}\mathrm {D} _{3}+\ldots ,$

où l’on se souviendra que $\mathrm {D} _{0}$ est la même chose que $\mathrm {T} _{0}.$ C’est la formule différentielle de Newton, dont on se sert communément pour les interpolations, en donnant à l’indice $n$ des valeurs fractionnaires.

Lorsque $n$ est un nombre entier, on peut construire cette formule par des additions successives ; la manière la plus simple est de ranger les différences

$\mathrm {D_{0},\ \ D_{1},\ \ D_{2},\ \ D_{3}} ,\ldots$

dans une ligne horizontale, et de former au-dessous successivement d’autres lignes correspondantes, en faisant chaque terme de ces lignes égal à la somme de celui qui est au-dessus et de celui qui est à la droite de celui-ci dans la ligne immédiatement supérieure ; la première ligne verticale contiendra par ordre les termes $\mathrm {D} _{0}$ ou $\mathrm {T_{0},T_{1},T_{2},T_{3}} ,\ldots .$ On peut ainsi, quand la série des différences se termine, ce qui a lieu pour toutes les suites qui conduisent à des différences constantes, construire une Table aussi étendue que l’on voudra, pour avoir successivement tous les termes de la suite proposée.

Mais ce moyen mécanique ne peut plus être employé lorsque le nombre $n$ est fractionnaire. Alors il faut calculer chaque terme séparément par la formule (B), en donnant successivement à $n$ les valeurs convenables ainsi, s’il était question d’interpoler partout un terme entre deux termes consécutifs de la série

$\mathrm {T_{0},\ \ T_{1},\ \ T_{2},} \ldots ,$