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Puisque

$\mathrm {D_{1}=T_{1}-T_{0}} ,$

en élevant les deux membres à l’indice $m,$ on aura

$\mathrm {D_{m}=(T_{1}-T_{0})_{m}} \,;$

développant le second membre comme un binôme, en mettant les exposants au bas pour servir d’indices, on aura

(A)

$\mathrm {D} _{m}=\mathrm {T} _{m}-m\mathrm {T} _{m-1}+{\frac {m(m-1)}{2}}\mathrm {T} _{m-2}-{\frac {m(m-1)(m-2)}{2.3}}\mathrm {T} _{m-3}+\ldots ,$

formule connue et qu’on peut trouver par induction.

Si l’on fait $m=0,$ on a

$\mathrm {D_{0}=T_{0}} ,$

d’où il s’ensuit que le terme $\mathrm {D} _{0}$ qui doit précéder le terme $\mathrm {D} _{1}$ dans la série des différences est égal à $\mathrm {T} _{0}.$

Si l’on fait $m$ négatif, les différences se changent en sommes ; de sorte que désignant les sommes de différents ordres par

$\mathrm {S_{1},\ \ S_{2},\ \ S_{3}} ,\ldots ,$

on aura

$\mathrm {S_{1}=D_{-1},\quad S_{2}=D_{-2}} ,\ldots ,\quad \mathrm {S} _{m}=\mathrm {D} _{-m}\,;$

par conséquent, en changeant $m$ en $-m,$ on aura

$\mathrm {S} _{m}=\mathrm {T} _{-m}+m\mathrm {T} _{-m-1}+{\frac {m(m+1)}{2}}\mathrm {T} _{-m-2}+\ldots ,$

formule connue aussi.

2. Si au contraire on veut avoir l’expression d’un terme quelconque $\mathrm {T} _{n}$ par le moyen des différences, on reprendra l’équation

$\mathrm {D_{1}=T_{1}-T_{0}} ,$

laquelle donne

$\mathrm {T_{1}=T_{0}+D_{1}}$