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alors la valeur de $d\mathrm {V} '$ se simplifiera et deviendra

$d\mathrm {V} '=\mathrm {\frac {2N'^{2}}{M'^{2}}} \sin pdpdq,$

De plus, dans ce cas l’équation en $r$ deviendra

$\mathrm {M} 'r-2\mathrm {N} '=0$

et n’aura plus qu’une seule racine ; de sorte que les intégrations relatives à $p$ et $q$ seront indépendantes et devront se faire depuis $p=0$ jusqu’à $p=180^{\circ },$ et depuis $q=0$ jusqu’à $q=180^{\circ }.$ Ainsi l’on aura la valeur complète de $\mathrm {V} '$ par cette double intégration de la formule suivante

${\frac {2\left({\cfrac {f\sin p\cos q}{a^{2}+e}}+{\cfrac {g\sin p\sin q}{b^{2}+e}}+{\cfrac {h\cos p}{c^{2}+e}}\right)^{2}\sin pdpdq}{\left({\cfrac {\sin ^{2}p\cos ^{2}q}{a^{2}+e}}+{\cfrac {\sin ^{2}p\sin ^{2}q}{b^{2}+e}}+{\cfrac {\cos ^{2}p}{c^{2}+e}}\right)^{2}}},$

qu’on peut réduire à celle-ci plus simple

$2{\frac {\left({\cfrac {f\cos q}{a^{2}+e}}+{\cfrac {g\sin q}{b^{2}+e}}\right)^{2}\sin ^{2}p+\left({\frac {h}{c^{2}+e}}\right)^{2}\cos ^{2}p}{\left({\cfrac {\sin ^{2}p\cos ^{2}q}{a^{2}+e}}+{\cfrac {\sin ^{2}p\sin ^{2}q}{b^{2}+e}}+{\cfrac {\cos ^{2}p}{c^{2}+e}}\right)^{2}}}\sin pdpdq,$

par la raison que toute formule telle que $\mathrm {Q} \cos pdp,$ où $\mathrm {Q}$ serait une fonction rationnelle de $\sin ^{2}p$ et $\cos ^{2}q,$ étant intégrée depuis $p=0$ jusqu’à $p=180^{\circ },$ donne un résultat nul.

L’intégrale relative à $p$ n’a aucune difficulté ; il n’y a qu’à faire $\cos p=u,$ et l’on aura une différentielle rationnelle en $u,$ mais dont l’intégrale renfermera un arc de cercle ; l’intégrale relative à $q$ se trouvera de la même manière en faisant $\operatorname {tang} q=t,$ et sa valeur complète sera algébrique ; ainsi il y a de l’avantage à commencer par cette dernière mais l’intégration suivante relative à $q$ dépendra alors de la rectification des sections coniques.

Au reste, comme la propriété que nous avons trouvée par induction dans le n^o 10 a été démontrée rigoureusement par Laplace et Legendre, les résultats précédents doivent aussi être regardés comme rigoureux.