alors la valeur de
se simplifiera et deviendra
![{\displaystyle d\mathrm {V} '=\mathrm {\frac {2N'^{2}}{M'^{2}}} \sin pdpdq,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dd6c6812bc8569c0a5cff17baa97eee605bc351)
De plus, dans ce cas l’équation en
deviendra
![{\displaystyle \mathrm {M} 'r-2\mathrm {N} '=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d43eb5597fbc66b30674be160492132cca567f5a)
et n’aura plus qu’une seule racine ; de sorte que les intégrations relatives à
et
seront indépendantes et devront se faire depuis
jusqu’à
et depuis
jusqu’à
Ainsi l’on aura la valeur complète de
par cette double intégration de la formule suivante
![{\displaystyle {\frac {2\left({\cfrac {f\sin p\cos q}{a^{2}+e}}+{\cfrac {g\sin p\sin q}{b^{2}+e}}+{\cfrac {h\cos p}{c^{2}+e}}\right)^{2}\sin pdpdq}{\left({\cfrac {\sin ^{2}p\cos ^{2}q}{a^{2}+e}}+{\cfrac {\sin ^{2}p\sin ^{2}q}{b^{2}+e}}+{\cfrac {\cos ^{2}p}{c^{2}+e}}\right)^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f69e68961d659a445d07e47a35c411e393baf996)
qu’on peut réduire à celle-ci plus simple
![{\displaystyle 2{\frac {\left({\cfrac {f\cos q}{a^{2}+e}}+{\cfrac {g\sin q}{b^{2}+e}}\right)^{2}\sin ^{2}p+\left({\frac {h}{c^{2}+e}}\right)^{2}\cos ^{2}p}{\left({\cfrac {\sin ^{2}p\cos ^{2}q}{a^{2}+e}}+{\cfrac {\sin ^{2}p\sin ^{2}q}{b^{2}+e}}+{\cfrac {\cos ^{2}p}{c^{2}+e}}\right)^{2}}}\sin pdpdq,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed33f1a6b444ffd5b3d5a99b71d18cbc422a49bb)
par la raison que toute formule telle que
où
serait une fonction rationnelle de
et
étant intégrée depuis
jusqu’à
donne un résultat nul.
L’intégrale relative à
n’a aucune difficulté ; il n’y a qu’à faire
et l’on aura une différentielle rationnelle en
mais dont l’intégrale renfermera un arc de cercle ; l’intégrale relative à
se trouvera de la même manière en faisant
et sa valeur complète sera algébrique ; ainsi il y a de l’avantage à commencer par cette dernière mais l’intégration suivante relative à
dépendra alors de la rectification des sections coniques.
Au reste, comme la propriété que nous avons trouvée par induction dans le no 10 a été démontrée rigoureusement par Laplace et Legendre, les résultats précédents doivent aussi être regardés comme rigoureux.