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L’équation en $r$ devient

$\mathrm {M} r^{2}-2\mathrm {N} r+\mathrm {P} =0,$

en supposant

${\begin{aligned}\mathrm {M} =&{\frac {\sin ^{2}p\cos ^{2}q}{a^{2}}}+{\frac {\sin ^{2}p\sin ^{2}q}{b^{2}}}+{\frac {\cos ^{2}p}{c^{2}}},\\\mathrm {N} =&{\frac {f\sin p\cos q}{a^{2}}}+{\frac {g\sin p\sin q}{b^{2}}}+{\frac {h\cos p}{c^{2}}},\\\mathrm {P} =&{\frac {f^{2}}{a^{2}}}+{\frac {g^{2}}{b^{2}}}+{\frac {h^{2}}{c^{2}}}-1.\end{aligned}}$

Les deux racines $r'$ et $r''$ sont donc

$\mathrm {\frac {N\pm {\sqrt {N^{2}-MP}}}{M}} \,;$

de sorte qu’on aura

$r'^{2}-r''^{2}=\mathrm {\frac {4N{\sqrt {N^{2}-MP}}}{M^{2}}} \,;$

par conséquent la valeur de $d\mathrm {V}$ sera

$d\mathrm {V} =\mathrm {\frac {2N{\sqrt {N^{2}-MP}}}{M^{2}}} \sin pdpdq.$

Ce qui rend les intégrations qui restent à faire très-difficiles, c’est le radical mais ce radical disparaîtrait si $\mathrm {P} =0.$ Or on peut prendre $\mathrm {P} =0$ dans la valeur de $d\mathrm {V} '$ en déterminant convenablement l’arbitraire $e$.

12. Supposons donc que dans les expressions de $\mathrm {M,N,P}$ on mette partout $a^{2}+e,\ b^{2}+e,\ c^{2}+e$ à la place de $a^{2},b^{2},c^{2},$ et que ces expressions deviennent alors $\mathrm {M',N',P'} \,;$ on aura de même (10)

$d\mathrm {V} '=\mathrm {\frac {2N'{\sqrt {N'^{2}-M'P'}}}{M'^{2}}} \sin pdpdq.$

Donc, si l’on prend $e,$ en sorte que $\mathrm {P} '=0,$ c’est-à-dire que l’on ait

${\frac {f^{2}}{a^{2}+e}}+{\frac {g^{2}}{b^{2}+e}}+{\frac {h^{2}}{c^{2}+e}}-1=0,$