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résulte du développement de la fraction irrationnelle

${\frac {1}{\sqrt {(f-x)^{2}+(g-y)^{2}+(h-z)^{2}}}},$

dans laquelle $f,g,h$ sont données en $\rho ,\lambda ,\mu$ (numéro précédent). On sait qu’en nommant cette fraction $u,$ elle satisfait à l’équation

${\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}u}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}u}{dz^{2}}}=0,$

quelles que soient les valeurs de $f,g,h,$ comme on peut s’en assurer par la différentiation. Donc, substituant à la place de $u$ la série dont il s’agit, il faudra qu’on ait autant d’équations semblables pour chacune des quantités $(1),(2),(3),\ldots$ c’est-à-dire

${\frac {d^{2}(1)}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}(1)}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}(1)}{dz^{2}}}=0,\quad {\frac {d^{2}(2)}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}(2)}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}(2)}{dz^{2}}}=0,\ldots \,;$

et, comme ces équations doivent être indépendantes d’aucune relation entre $x,y,z,$ il faudra égaler à zéro les termes qui après la différentiation resteront affectés des mêmes produits de ces variables.

Ainsi l’équation

${\frac {d^{2}(2)}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}(2)}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}(2)}{dz^{2}}}=0$

donnera l’équation

$\mathrm {A+B+C} =0.$

L’équation

${\frac {d^{2}(4)}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}(4)}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}(4)}{dz^{2}}}=0$

donnera ces trois équations

${\begin{aligned}&4.3\mathrm {A'+2D'+2E'} =0,\\&4.3\mathrm {B'+2D'+2F'} =0,\\&4.3\mathrm {C'+2E'+2F'} =0.\end{aligned}}$

L’équation

${\frac {d^{2}(6)}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}(6)}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}(6)}{dz^{2}}}=0$