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lyse donnent lieu de l’espérer. En attendant, voici l’usage qu’on pourrait faire des formules précédentes dans cette recherche.

8. Si l’on réduit le radical

${\frac {1}{\sqrt {(f-x)^{2}+(g-y)^{2}+(h-z)^{2}}}}$

en série ascendante relativement aux quantités $x,y,z,$ la quantité $\mathrm {V}$ se trouvera composée de termes de la forme $k\int x^{2m}y^{2n}z^{2l}d\mathrm {M} ,$ dont on aura la valeur par la formule du n^o 5, le coefficient $k$ ne dépendant que des quantités $f,g,h.$

Si le point attiré est assez éloigné relativement aux dimensions du sphéroïde, ce qui est le cas des corps célestes, cette réduction en série sera toujours assez exacte, et il suffira de ne tenir compte que des premiers termes, comme dans les Problèmes de la précession des équinoxes, de la libration de la Lune ou des autres Planètes.

En substituant $\rho \cos \lambda ,\ \rho \sin \lambda \sin \mu ,\ \rho \sin \lambda \cos \mu$ à la place de $h,g,f$ (7), on pourra réduire le radical dont il s’agit en une série de la forme

${\frac {1}{\rho }}+{\frac {(1)}{\rho ^{2}}}+{\frac {(2)}{\rho ^{3}}}+{\frac {(3)}{\rho ^{4}}}+\ldots ,$

les quantités $(1),(2),(3),\ldots$ étant des fonctions homogènes de $x,y,z$ des dimensions $1,2,3,\ldots$ Ainsi, en multipliant par $d\mathrm {M}$ et intégrant, on aura

$\mathrm {V} ={\frac {\mathrm {M} }{\rho }}+{\frac {\int (1)d\mathrm {M} }{\rho ^{2}}}+{\frac {\int (2)d\mathrm {M} }{\rho ^{3}}}+{\frac {\int (3)d\mathrm {M} }{\rho ^{4}}}+\ldots .$

Mais, par ce que nous avons observe plus haut (3), il est clair que les valeurs de

$\int (1)d\mathrm {M} ,\quad \int (3)d\mathrm {M} ,\ldots$

seront nulles ; que, de plus, dans les valeurs de

$\int (2)d\mathrm {M} ,\quad \int (4)d\mathrm {M} ,\ldots ,$