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Au reste les quantités que nous désignons ici par $a,b,c,\mathrm {M}$ le sont dans l’endroit cité par $f,g,h,m.$

7. On sait que l’attraction du sphéroïde sur un point quelconque dont la position dans l’espace serait déterminée par les coordonnées $f,g,h$ rapportées aux mêmes axes que les coordonnées $x,y,z$ dépend de la formule

$\int {\frac {d\mathrm {M} }{\sqrt {(f-x)^{2}+(g-y)^{2}+(h-z)^{2}}}}$

que j’appelle $\mathrm {V} ,$ l’intégration étant rapportée à toute la masse du sphéroïde. Car, si dans la quantité $\mathrm {V}$ regardée comme fonction de $f,g,h$ on fait varier séparément ces dernières quantités, on aura ${\frac {d\mathrm {V} }{df}},{\frac {d\mathrm {V} }{dg}},{\frac {d\mathrm {V} }{dh}}$ pour les attractions totales parallèlement aux axes des coordonnées $f,g,h$. Et si l’on change ces coordonnées en un rayon vecteur $\rho$ avec deux angles $\lambda$ et $\mu ,$ tels que

$h=\rho \cos \lambda ,\quad g=\rho \sin \lambda \sin \mu ,\quad f=\rho \sin \lambda \cos \mu ,$

on aura ${\frac {d\mathrm {V} }{d\rho }}$ pour l’attraction suivant le rayon ${\frac {1}{\rho }}{\frac {d\mathrm {V} }{d\lambda }},\ {\frac {1}{\rho \sin \lambda }}{\frac {d\mathrm {V} }{d\mu }}$ pour les deux attractions perpendiculaires au rayon, l’une dans le plan qui passe par l’axe des ordonnées $h,$ et l’autre perpendiculaire à ce plan.

La recherche de l’attraction du sphéroïde dépend donc simplement de la détermination de la quantité $\mathrm {V}$ en fonction de $a,b,c,f,g,h.$ Dans le Mémoire déjà cité sur l’attraction des sphéroïdes, j’ai résolu la question pour le cas où le point attiré est dans l’intérieur ou à la surface ; et dans une Addition à ce Mémoire, imprimée dans le volume de l’année 1775, je l’ai résolue aussi pour le cas où le point attiré est sur le prolongement d’un des trois axes. Les autres cas ont été résolus d’abord par Legendre pour les seuls sphéroïdes de révolution, ensuite par Laplace et Legendre pour des sphéroïdes quelconques. On ne peut regarder leurs solutions que comme des chefs-d’œuvre d’analyse, mais on peut désirer encore une solution plus directe et plus simple ; et les progrès naturels de l’Ana-