Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 5.djvu/652

6. De ce que (3)

$\int xyd\mathrm {M} =0,\quad \int xzd\mathrm {M} =0,\quad \int yzd\mathrm {M} =0,$

il s’ensuit que les axes des coordonnées $x,y,z$ sont les trois axes principaux du sphéroïde. Les moments d’inertie autour de ces axes, dont la détermination est nécessaire pour le calcul de la rotation, seront donc exprimés par les formules

$\int \left(y^{2}+z^{2}\right)d\mathrm {M} ,\quad \int \left(x^{2}+z^{2}\right)d\mathrm {M} ,\quad \int \left(x^{2}+y^{2}\right)d\mathrm {M} ,$

dont les valeurs sont par la formule générale

${\frac {\mathrm {M} \left(b^{2}+c^{2}\right)}{5}},\quad {\frac {\mathrm {M} \left(a^{2}+c^{2}\right)}{5}},\quad {\frac {\mathrm {M} \left(a^{2}+b^{2}\right)}{5}}.$

Dans la Théorie de la libration de la Lune [Mémoires de 1780^[1]], on a fait

${\frac {a}{c}}=1+e,\quad {\frac {b}{c}}=1+i,$

et regardant $e$ et $i$ comme des quantités très-petites vis-à-vis de l’unité, ce qui suffisait alors pour mon objet, on a trouvé pour les moments dont il s’agit les quantités

${\frac {2\mathrm {M} }{5}}c^{2}(1+i),\quad {\frac {2\mathrm {M} }{5}}c^{2}(1+e),\quad {\frac {2\mathrm {M} }{5}}c^{2}(1+e+i),$

$\mathrm {M}$ étant $={\frac {2}{3}}360^{\circ }\times c^{3}(1+e+i).$ En comparant ces valeurs avec les précédentes, il est aisé d’en conclure qu’on peut rendre les formules de la Théorie citée rigoureuses, en prenant d’abord pour $\mathrm {M}$ sa vraie valeur ${\frac {2}{3}}360^{\circ }\times abc,$ et faisant ensuite

$e={\frac {a^{2}-c^{2}}{2c^{2}}},\quad i={\frac {b^{2}-c^{2}}{2c^{2}}}.$

1. Œuvres de Lagrange, t. V, p. 1.