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dont l’intégrale est

${\frac {2}{3}}{\frac {\operatorname {arc\,tang} }{\sqrt {\alpha \beta \gamma }}}.$

Lorsque $\varphi =0$ on a $t=0,$ et lorsque $\varphi =360^{\circ }$ on a de nouveau $t=0\,;$ donc $\operatorname {arc\,tang} t$ est dans le premier cas $=0$ et dans le second $=360^{\circ }.$ Donc la valeur complète de cette dernière intégrale sera ${\frac {2}{3}}{\frac {360^{\circ }}{\sqrt {\alpha \beta \gamma }}}.$ Donc enfin on aura

$\mathrm {M} ={\frac {2}{3}}{\frac {360^{\circ }}{\sqrt {\alpha \beta \gamma }}}.$

5. Cette quantité différentiée successivement donnera

${\begin{aligned}&{\frac {\delta \mathrm {M} }{\delta \alpha }}=-{\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {M} }{\alpha }},\quad {\frac {\delta \mathrm {M} }{\delta \beta }}=-{\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {M} }{\beta }},\quad {\frac {\delta \mathrm {M} }{\delta \gamma }}=-{\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {M} }{\gamma }},\\&{\frac {\delta ^{2}\mathrm {M} }{\delta \alpha ^{2}}}={\frac {1}{2}}{\frac {3}{2}}{\frac {\mathrm {M} }{\alpha }},\quad {\frac {\delta ^{2}\mathrm {M} }{\delta \alpha \ \delta \beta }}=-{\frac {1}{2}}{\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {M} }{\alpha \beta }}\,;\end{aligned}}$

et ainsi de suite. De sorte qu’on aura, en général,

${\frac {\delta ^{m+n+l}}{\delta \alpha ^{m}\delta \beta ^{n}\delta \gamma ^{l}}}=\pm \left[{\frac {1}{2}}{\frac {3}{2}}{\frac {5}{2}}\ldots (m)\right]\left[{\frac {1}{2}}{\frac {3}{2}}{\frac {5}{2}}\ldots (n)\right]\left[{\frac {1}{2}}{\frac {3}{2}}{\frac {5}{2}}\ldots (l)\right]{\frac {\mathrm {M} }{\alpha ^{m}\beta ^{n}\gamma ^{l}}}\,;$

le signe supérieur a lieu lorsque $m+n+l$ est pair, l’inférieur lorsque ce nombre est impair, et les quantités $(m),(n),(l)$ dénotent le nombre des facteurs ${\frac {1}{2}},{\frac {3}{2}},{\frac {5}{2}},\ldots$ qu’il faut multiplier ensemble.

Donc enfin, faisant cette substitution dans la formule intégrale du n^o 3 et remettant pour $\alpha ,\beta ,\gamma$ leurs valeurs ${\frac {1}{a^{2}}},{\frac {1}{b^{2}}},{\frac {1}{c^{2}}},$ on aura, en général, cette formule très-remarquable

$\int x^{2m}y^{2n}z^{2l}d\mathrm {M} ={\frac {\left[1.3.5.\ldots (m)\right]\left[1.3.5.\ldots (n)\right]\left[1.3.5.\ldots (l)\right]}{5.7.9\ldots (m+n+l)}}\mathrm {M} a^{2m}b^{2n}c^{2l},$

où $\mathrm {M} ={\frac {2}{3}}360^{\circ }\times abc.$