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$x,y,z\,;$ $\psi$ sera l’angle fait par ce rayon avec l’une des ordonnées $z,$ et $\varphi$ sera l’angle que la projection du même rayon sur le plan des coordonnées $x$ et $y$ fait avec l’une des ordonnées $x.$ En substituant ces valeurs dans l’équation du sphéroïde, on en tirera

${\frac {1}{r^{2}}}={\frac {\sin ^{2}\psi \cos ^{2}\varphi }{a^{2}}}+{\frac {\sin ^{2}\psi \sin ^{2}\varphi }{b^{2}}}+{\frac {\cos ^{2}\psi }{c^{2}}}\,;$

et de là on aura les valeurs de $x,y,z$ en $\psi$ et $\varphi .$

2. Désignons par $\mathrm {M}$ la masse totale ou plutôt le volume du sphéroïde ; on aura, comme l’on sait,

$d\mathrm {M} =r^{2}dr.\sin \psi d\psi d\varphi \,;$

et pour avoir la valeur de $\mathrm {M}$ il faudra intégrer d’abord depuis $r=0$ jusqu’à $r$ égal au rayon du sphéroïde, c’est-à-dire en donnant à $r$ la valeur trouvée ci-dessus ; on intégrera ensuite depuis $\psi =0$ jusqu’à $\psi =180^{\circ },$ et enfin depuis $\varphi =0$ jusqu’à $\varphi =360^{\circ }.$

Intégrant d’abord suivant la variable $r,$ on aura

$d\mathrm {M} ={\frac {r^{3}\sin \psi d\psi d\varphi }{3}},$

où il faudra substituer pour $r$ sa valeur en $\varphi$ et $\psi .$

Soit pour plus de simplicité

$a={\frac {1}{\sqrt {\alpha }}},\quad b={\frac {1}{\sqrt {\beta }}},\quad c={\frac {1}{\sqrt {\gamma }}}\,;$

on aura

$r=\left(\alpha \sin ^{2}\psi \cos ^{2}\varphi +\beta \sin ^{2}\psi \sin ^{2}\varphi +\gamma \cos ^{2}\psi \right)^{-{\frac {1}{2}}}.$

Supposons de plus

$\mathrm {R} =\alpha \sin ^{2}\psi \cos ^{2}\varphi +\beta \sin ^{2}\psi \sin ^{2}\varphi +\gamma \cos ^{2}\psi ,$