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ou bien encore

${\frac {d{\cfrac {\operatorname {F} (\alpha )}{\mathrm {P} '}}}{d\alpha }},$

comme on l’a trouve dans le numéro cité.

Si $\alpha$ est une racine triple, alors on aura

${\frac {d\mathrm {P} }{d\alpha }}=0,\quad {\frac {d^{2}\mathrm {P} }{d\alpha ^{2}}}=0,$

ce qui réduira la formule à celle-ci

${\frac {\operatorname {F} (\alpha )+\omega {\cfrac {d\operatorname {F} (\alpha )}{d\alpha }}+{\cfrac {\omega ^{2}}{2}}{\cfrac {d^{2}\operatorname {F} (\alpha )}{d\alpha ^{2}}}+\ldots }{{\cfrac {\omega ^{2}}{2.3}}\left({\cfrac {d^{3}\mathrm {P} }{d\alpha ^{3}}}+{\cfrac {\omega }{4}}{\cfrac {d^{4}\mathrm {P} }{d\alpha ^{4}}}+{\cfrac {\omega ^{2}}{4.5}}{\cfrac {d^{5}\mathrm {P} }{d\alpha ^{5}}}+\ldots \right)}}.$

Faisant le développement suivant les méthodes ordinaires, on trouvera que les termes indépendants de $\omega$ seront les mêmes que ceux qui résultent des formules données ci-dessus pour le cas de trois racines égaies ; et ainsi de suite.