ou bien encore
![{\displaystyle {\frac {d{\cfrac {\operatorname {F} (\alpha )}{\mathrm {P} '}}}{d\alpha }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5cb761e2f77465401703045aafa34ea212fffe3)
comme on l’a trouve dans le numéro cité.
Si
est une racine triple, alors on aura
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {P} }{d\alpha }}=0,\quad {\frac {d^{2}\mathrm {P} }{d\alpha ^{2}}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8495f464ead2f4522ca1ba9011b8bb71b0f66507)
ce qui réduira la formule à celle-ci
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {F} (\alpha )+\omega {\cfrac {d\operatorname {F} (\alpha )}{d\alpha }}+{\cfrac {\omega ^{2}}{2}}{\cfrac {d^{2}\operatorname {F} (\alpha )}{d\alpha ^{2}}}+\ldots }{{\cfrac {\omega ^{2}}{2.3}}\left({\cfrac {d^{3}\mathrm {P} }{d\alpha ^{3}}}+{\cfrac {\omega }{4}}{\cfrac {d^{4}\mathrm {P} }{d\alpha ^{4}}}+{\cfrac {\omega ^{2}}{4.5}}{\cfrac {d^{5}\mathrm {P} }{d\alpha ^{5}}}+\ldots \right)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edce1b677aeb0a25bf525f997e6959cbe7a7c44c)
Faisant le développement suivant les méthodes ordinaires, on trouvera que les termes indépendants de
seront les mêmes que ceux qui résultent des formules données ci-dessus pour le cas de trois racines égaies ; et ainsi de suite.